extrémas d'une fonction

[invite769a1844]

Bonjour,

je cherche à déterminer les extrémas locaux et globaux, s'ils existent, de la fonction définie par: sur qui est clairement .

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J'ai d'abord calculé les dérivées partielles premières:

, et

J'ai ensuite trouvé que les points critiques de sont les points de .

Après j'ai déterminé les dérivées partielles secondes:



, et .

Je fixe , et je considère le point de coordonnées .

J'ai trouvé la forme quadratique hessienne de au point , pour tout on a:

,

est alors positive mais pas définie donc on a un point selle (c'est quoi ici un point selle, c'est le point ou son image par , j'ai pas trouvé de définition bien précise de point selle).

Est-ce que le fait que ce soit un point selle entraîne que n'admette pas de minimum local au point ?

Pour les extrémaux globaux je dirais déjà qu'il n'y a pas de maximum global, il suffit de fixer , puis de faire tendre et vers , mais je ne vois comment faire pour voir si il y a des minimums globaux ou non?

Merci pour votre aide.
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[invite6f25a1fe]

(c'est quoi ici un point selle, c'est le point ou son image par , j'ai pas trouvé de définition bien précise de point selle).

Est-ce que le fait que ce soit un point selle entraîne que n'admette pas de minimum local au point ?

Merci pour votre aide.

Pense à une selle de cheval. Le "point selle" est le point où tu t'assis. Il correspond à un point ou il existe au moins une direction où ta fonction admet un maximum en ce point, et une direction ou ta fonction admet un minimum en ce point => conclusion : il n'y a pas d'extremum local en ce point puisque selon la direction où tu regardes, on aura un min ou un max

[invite769a1844]

Pense à une selle de cheval. Le "point selle" est le point où tu t'assis. Il correspond à un point ou il existe au moins une direction où ta fonction admet un maximum en ce point, et une direction ou ta fonction admet un minimum en ce point => conclusion : il n'y a pas d'extremum local en ce point puisque selon la direction où tu regardes, on aura un min ou un max

merci c'est beaucoup plus clair. Pour la recherche des minimums globaux tu as une idée?

[invite986312212]

pour le minimum global, ça dépend si tu admets les cas où (x+y) est négatif (et entier donc). Sinon, 0 est une borne inférieure de {f(x,y,z)} mais n'est pas atteint (pas un minimum donc).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f25a1fe]

Encore une question : es-tu sûr d'avoir un point scelle ?
Quand tu calcules tes dérivées secondes au point a=t,-t-1,0) tu obtiens un matrice Hessienne du type : Hf(a)= (1 1 0 | 1 1 0 | 0 0 2) il me semble, qui est clairement de déterminant nul (comme tu dis, ta matrice n'est pas définie) -> Ne faut il pas pousser un ordre plus loin pour se rendre compte de ce qui se passe vraiment (la tu as négligé des termes d'ordre 3, peut être vont te donner une quantité négative, non ?)

Pour les extremums globaux, il faut voir : Ici, tu es dans un domaine ouvert, donc tu n'as pas de bord à t'occuper.
Il faut juste regarder ce qui se passe à l'infini : max facile
Pour le min : on regarde selon le chemin (x,0, racine(x)), x appartenant à R
On voit alors que pour x tend vers - l'infini, on aura notre fonction f qui tend vers - l'infini : on n'aura donc pas de minimum global

[invite769a1844]

Encore une question : es-tu sûr d'avoir un point scelle ?
Quand tu calcules tes dérivées secondes au point a=t,-t-1,0) tu obtiens un matrice Hessienne du type : Hf(a)= (1 1 0 | 1 1 0 | 0 0 2) il me semble, qui est clairement de déterminant nul (comme tu dis, ta matrice n'est pas définie) -> Ne faut il pas pousser un ordre plus loin pour se rendre compte de ce qui se passe vraiment (la tu as négligé des termes d'ordre 3, peut être vont te donner une quantité négative, non ?)

Je ne sais pas, sur wikipedia ils disent qu'un point selle est un point où la forme quadratique associée est ni définie positive, ni définie négative et c'est le cas ici, non?
Après est-ce que ça colle avec ta définition de point selle, je n'ai pas vérifié.

[invite769a1844]

Pour les extremums globaux, il faut voir : Ici, tu es dans un domaine ouvert, donc tu n'as pas de bord à t'occuper.
Il faut juste regarder ce qui se passe à l'infini : max facile
Pour le min : on regarde selon le chemin (x,0, racine(x)), x appartenant à R
On voit alors que pour x tend vers - l'infini, on aura notre fonction f qui tend vers - l'infini : on n'aura donc pas de minimum global

Pour cette explication sinon c'est clair, merci.

[invite6f25a1fe]

Je ne sais pas, sur wikipedia ils disent qu'un point selle est un point où la forme quadratique associée est ni définie positive, ni définie négative et c'est le cas ici, non?
Après est-ce que ça colle avec ta définition de point selle, je n'ai pas vérifié.

Le fait de regarder la forme quadratique vient du fait que tu néglige les termes d'ordre supérieur à 2.
En gros, tu fais un dévelopement autour de ton point critique, noté a
donc
où TO3 est un terme d'ordre 3 en h
Dans notre cas, a est un point critique, donc grad(f(a))=0
Le fait que det(Hf(a))=0, ou H(f(a)) est la hessienne de f en a, signifie que tu peux trouver des h non nuls tels que le produit soit nul
Au final, il te reste pour certains h :
f(a+h)-f(a)=TO3 : ce terme d'ordre 3, tu ne le connais pas. Comment fait tu pour conclure : il faut pousser le dévelopement à l'ordre 3 pour vérifier que cette quantité te donnera bien un point scelle (pour qu'il y ait un problème, il faudrait qu'on puisse trouver des h non nuls qui permettent d'annuler le terme TO3. C'est alors le terme d'ordre 4 en h qui te donnera la réponse. tu vois que dans ce ca, on aura une forme qui pourra devenir définie positive ou définie négative : Je te l'accorde, je ne pense pas que ca soit le cas, mais bon, mieux vaut vérifier...)

[invite769a1844]

Merci bien pour ces explications Scorp, je vais étudier ça plus en détail.

[invite986312212]

Pour le min : on regarde selon le chemin (x,0, racine(x)), x appartenant à R
On voit alors que pour x tend vers - l'infini, on aura notre fonction f qui tend vers - l'infini : on n'aura donc pas de minimum global

ça tend plutôt vers zéro à mon humble avis. Et encore faut-il que x soit entier, sinon f(x,0,sqrt(x)) n'a aucun sens

[invitea07f6506]

Ici, l'ensemble des points critiques est exactement l'ensemble des minima globaux... En particulier, tout point critique pour cette fonction est un minimum local.

En effet, à (x+y) fixé négatif, cette fonction est minimale pour z nul, et a une dérivée non nulle pour z non nul.
Si l'on cherche les minima (locaux comme globaux) de cette fonction, on peut donc imposer z=0.
Posons t=x+y. Cela revient à chercher les minima de la fonction qui à t associe t.exp(t) ; cette fonction atteint son minimum en -1.
La fonction étudiée atteint donc son minimum pour tout point (t,-1-t,0), t réel.

[invite6f25a1fe]

ça tend plutôt vers zéro à mon humble avis. Et encore faut-il que x soit entier, sinon f(x,0,sqrt(x)) n'a aucun sens

Non, le but était justement d'annuler le terme dans l'exponentielle pour ne pas faire tendre le tout vers 0. Le problème vient par contre de la racine carré qui m'interdit de faire tendre x vers -infini (il faut x positif, et non x entier comme tu dis)

[invite986312212]

oui, il fallait lire sqrt(-x) mais de toutes façons (-x)^(-x) ça ne tend pas vers -infini mais vers 0

[invite769a1844]

pour le minimum global, ça dépend si tu admets les cas où (x+y) est négatif (et entier donc). Sinon, 0 est une borne inférieure de {f(x,y,z)} mais n'est pas atteint (pas un minimum donc).

je ne comprends pas pourquoi pour , on a entier ?

[invite769a1844]

ça tend plutôt vers zéro à mon humble avis. Et encore faut-il que x soit entier, sinon f(x,0,sqrt(x)) n'a aucun sens

ici aussi, je ne saisis pas pourquoi doit être entier pour que ait un sens.