Bonjour, j'ai besoin des trouvers les solutions (c'est-a-dire les fonction f(x) possibles) de l'equation suivante :
Int( f(x-y)*sin(w*y)/y , y= 0.. infinity) = f(x) * Pi/2
Je m'attends a ce que f(x) depende d'une certaine facon de w.
Aussi, a l'oeil on voit bien que f(x)=1 est une solution possible, mais j'imagine qu'il y en a d'autre ... comme prodeder ???
(methode numerique ou analytique fera mon affaire ...)
Peut être essayer de se ramener à une équa diff si c'est possible ???
Tres tres daccord ... mais comment ?
En fait, au début je pensais utiliser le théorème de dérivation des intégrales à paramètre, mais bon, je n'arrive pas à justifier qu'on peut effectivement le faire, surtout à cause de la borne infini. Donc ca me parait difficile de poursuivre dans cette voie, mais en même temps j'ai du mal à voir d'autres méthodes
Je suis pas sur de comprendre ... tu veux dire la regle de derivation d'integrale de Leibniz ?
Si oui, bien meme en deriant on est pas tellement avance ...
Petit plus : dans le contexte du probleme je m'attends (du moins j'espere) que la /les fonctions f(x) soient presque contraintent a un intervall fini (dans le sens qu'elles tendent vers 0 quand x-> +- infini)
Bonjour !Envoyé par Mataka
Effectivement, tout fonction constante est solution.
Une idée :
Vu que dans ton équation :
il y a une convolution, on a envi d'utiliser les transformés de Laplace, mais je n'ai jamais réellement appris à travailler avec... Ici si on pose
L'équation (1) devient :
et on trouveet donc :
euh... je m'égare. Peut-être que quelqu'un sera exploiter cette piste mieux que moi.
Bon courage !
C'est un bel essaie, mais on arrive effectivement a un cul de sac assez rapidement ...
Mais bon, c'est un bellle observation par rapport a la convolution, on peut reericre l'equation comme :
(g*f)(t)= f(t)
ou g = (sin(wt)/t)(Heaviside(t))
Hey,
je pense avoir peut-etre trouver la reponse, mais est-ce que quelque'un peu me confirmer que :
Int( Exp(i*s*(x*x')) , s= 0 .. infinity ) = Pi * Dirac (x-x')
Je sais que
Int( Exp(i*s*(x*x')) , s= -infinity .. infinity ) = 2*Pi * Dirac (x-x')
mais je suis vraiment pas sur de ma premier equation ...
Bon alors voilà je continue mon raisonnement précédent :
J'ai dit, et je crois avoir montrer mais je peux me tromper, que l'on a
où
Donc, pour tout
Je suppose par la suite que
En intégrant par partie on a :
(je sais, je sais l'écriture n'est pas très rigoureuse...) En supposant que la première limite vaut 0 on a alors :
c'est à dire :
d'où en prenant les transformée de Laplace inverse :
où
où H est la fonction de Heaviside et K une constante.
Bon j'espère que je ne me suis pas tromper... En tous cas la fonction trouvé est bien solution. En conclusion : seule les constantes sont solutions.
J'arrive a un resultat bien different ... toute fonction qui est bandlimited est solution !
Toute fonction f(u) qui peut s'ecrire comme
f(u) : = Int ( 1/sqrt(2*Pi) * F(x) * exp( i *x *u ) , u= -w .. w )
sera solution .... il suffit de constater que la fonction sin(w*s)/s peut s'ecrire comme :
sin(w*s)/s = 1/2 * Int( exp(i*x*s), x= -w .. w)
Quelqu'un peut confirmer mon raissonnement (il suffit de remplacer f(u) et sin(w*s)/s dans mon equation de base et verifier que l'equation se tient ...)
Merci
euh on a plutot
non?
Non, tu integre sur x alors c'est certain qu'il y aura pas de x du cote droit de ton equation ... c'est un s qui va la ...
OUbli j'ai écrit n'importe quoi... une erreur d'inattention impardonnable
Merde ... il y a un facteur 2 qui marche pas dans ma preuve ... Si je defini l'operateur P tel que
f(x) = Int ( exp(i*s*x) * F(s), s= - infinity .. infinity ) (transfo de fourier normal)
P( f(x))= Int ( exp(i*s*x) * F(s), s= - w .. w )
alors je cherche f(x) tel que
P ( f(x) ) = 1/2 f(x)
En fait, tout repose sur cette integrale, mais je pense qu'il y a un facteur 2 qui manque a quelque part ...
Int( Exp(i*s*(x*x')) , s= 0 .. infinity ) = Pi * Dirac (x-x')
