Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

[inviteaeeb6d8b]

Plus simple : sinp+sinq=2 sin(p+q)/2 cos(p-q)/2

Donc sin3x+sinx=2 sin2x cosx

Tout dépend du nombre de formules que tu connais Le "sin(p)+sin(q)" ne fait pas partie (je trouve) des "à connaître" mais plutôt des "à retrouver" à partir des "sin(a+b)" et "cos(a+b)".
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[inviteaf1870ed]

Des formules, en trigo on n'en connait jamais assez

[inviteaeeb6d8b]

Des formules, en trigo on n'en connait jamais assez

Et tu n'as pas (forcément) tort

[FonKy-]

Tout dépend du nombre de formules que tu connais Le "sin(p)+sin(q)" ne fait pas partie (je trouve) des "à connaître" mais plutôt des "à retrouver" à partir des "sin(a+b)" et "cos(a+b)".

non Romain je regrette, elle fait parti des à connaitre c'est-a-dire celle que tu va soigneursement afficher devant tes toilettes pour les apprendre ^^ a coté de tous les grso théoremes (chose que je n'ai jamais faite en passant ^^)
en plus je la trouve difficil a retrouver et meme longue (avis perso).
Par contre cos(a)cos(b) est elle a retrouver ^^

[inviteaeeb6d8b]

non Romain je regrette, elle fait parti des à connaitre c'est-a-dire celle que tu va soigneursement afficher devant tes toilettes pour les apprendre ^^ a coté de tous les grso théoremes

Chacun place ses priorités où il le veut Perso, je n'ai appris (et j'ai mis du temps) que les "sin/cos(a+b)" !

[invite8d322e93]

En prépa ça me semble indispensable, ça sert régulièrement en concours, et perdre 5 min à la retrouver c'est vraiment dommage !

[invitec1242683]

démontrer cos(a+b)=cosacosb-sinasinb ( sans passer par les cmplx ) !!

[invite8d322e93]

Quelle demo as-tu en tête ? J'en ai une géométrique qui est élégante, mais franchement c'est pas trouvable si on en a jamais vue une du genre.

[invite3a7286a1]

Géométriquement avec le cercle trigonométrique ça doit se faire non??

[invitea41c27c1]

Ca depend comment tu définis la fonction cosinus : partie réelle de exp(ix), série entière, produit scalaire euclidien...
Chaque définition amène sa propre démonstration des formules de trigo.
A noter que l'équivalence entre toutes ces définitions est loin d'être clair...

[invitec1242683]

produit scalair eculidien pardi ! hehe

[Seirios]

produit scalair eculidien pardi ! hehe

Normalement c'est largement faisable pour élève entrant en prépa, j'ai cette démonstration dans mon cours de Première.

[invitec1242683]

bien sur phys 2 ! c'est une démonstration aconnaître des la premiere ou la seconde
au fait qu'en as tu pensé des deux derniers pdf que gaara a posté pour moi ?
Je vais faire la meme chose pour les exercices 9 , 13 et 14 ce soir
A +

[Seirios]

au fait qu'en as tu pensé des deux derniers pdf que gaara a posté pour moi ?

Je n'ai pas encore regardé, je vais d'abord essayer de les faire, puis je vérifierai sur les pdf

[invite46a05d69]

moi je galere pour sin(x) + sin(3x) + sin(5X)...
quelqu’un peut il m’aider ?

[invite787dfb08]

Pas réussi non plus, j'essaye des méthodes de pur bricolage qui prennent des pages et des pages et avec une chance sur 10 de tomber sur le bon résulat ...

Help...

+++

[inviteaeeb6d8b]

Salut,

je ne l'ai pas cherché, mais j'ai deux petites idées :

la première

normalement, vous avez (déjà) calculé sin(x)+sin(5x) et sin(x)+sin(3x), alors peut-être que vous pourriez écrire :



la seconde

on a :
alors :


Voilà, peut-être vous avez déjà essayé ces pistes !

Romain

[invite46a05d69]

tres bonnes idées, mais je n’avais pas trouvé sin(x) + sin(5x) javais oublié cette formule lol

merci !

[invitec317278e]

Une idée pour calculer sin(x)+sin(3x)+sin(5) peut être de tout multiplier par sin(x), mais en procédant ainsi, on arrive à un produit au sens "large", puisqu'il y a aussi un sin(x) au dénominateur.

(je tombe sur : sin²(3x)/sin(x) avec cette méthode, à vous de voir si vous êtes satisfaits d'une fraction...
enfin quoi qu'il en soit, c'est formateur pour tout futur taupin, je pense, d'avoir déjà vu au moins une fois l'idée de multiplier ce genre de sommes par un cos ou un sin)

[inviteaeeb6d8b]

Une idée pour calculer sin(x)+sin(3x)+sin(5) peut être de tout multiplier par sin(x), mais en procédant ainsi, on arrive à un produit au sens "large", puisqu'il y a aussi un sin(x) au dénominateur.

(je tombe sur : sin²(3x)/sin(x) avec cette méthode, à vous de voir si vous êtes satisfaits d'une fraction...
enfin quoi qu'il en soit, c'est formateur pour tout futur taupin, je pense, d'avoir déjà vu au moins une fois l'idée de multiplier ce genre de sommes par un cos ou un sin)

C'est une bonne idée Mais je ne crois pas que la présence du sin(3x) et de la fraction corresponde à ce qui était attendu

Quoi qu'il en soit on peut continuer ! (je suppose que ton résultat intermédiaire est juste)


donc

donc

donc


Il me semble que quelqu'un avait déjà trouvé un résultat de ce type...

Sans oublier que pour diviser par sin(x) il faut supposer


Romain

[invite787dfb08]

Okay merci pour les techniques, fallait (juste) le voir....


+++

[invitec317278e]

Pour l'idée de multiplier par sin, c'est vrai que c'est pas ce qu'il y a de plus évident, et on ne te demandera généralement pas de trouver tout seul cette idée. Mon prof nous l'a faite une fois en début d'année, et j'ai retenu

En revanche, pour les idées données par exemple par Romain-des-Bois il y a quelques posts, il faudra que t'apprennes à les avoir tout seul

[inviteaeeb6d8b]

Okay merci pour les techniques, fallait (juste) le voir....

Pour l'idée de multiplier par sin, c'est vrai que c'est pas ce qu'il y a de plus évident,

Euh, qu'on soit bien d'accord... multiplier par sin(x) n'arrange rien (ici) la réponse n'est pas satisfaisante, continuer comme je l'ai fait n'amène à rien non plus...

Sans oublier qu'il faut supposer !

Continuez à chercher

[invitec317278e]

Nan, mais sinon, c'est chiant

C'est juste du calcul barbare dont le degré de barbarisme peut parfois être légèrement diminué

Et l'énoncé ne disait pas qu'il y avait pas le droit aux inverses

Sans oublier qu'il faut supposer x n'appartenant pas à piZ

En même temps, ce cas est pas trop dur à traiter séparément, il prend une ligne

[inviteaeeb6d8b]

Nan, mais sinon, c'est chiant

C'est juste du calcul barbare dont le degré de barbarisme peut parfois être légèrement diminué

Je n'ai pas dit que j'étais pas d'accord avec toi

Et l'énoncé ne disait pas qu'il y avait pas le droit aux inverses

Ca chipote

Bon, il faudrait modifier l'énoncé en :
Toutes ces expressions peuvent se mettre sous la forme . A vous de trouver , et .
(avec - j'attend les chipotages... - et )

En même temps, ce cas est pas trop dur à traiter séparément, il prend une ligne

Je disais ça pour que Galaxie apprenne une des méthodes fondamentales des Mathématiques, qui consiste à découper le problème en 2, traiter la partie facile, et laisser la difficile en exercice !


Romain

[invitec317278e]

Bon, j'arrête, de chipoter, et je donne une meilleure raison d'accepter ma réponse : si on nous demande de délinéariser ce genre, d'expressions, très souvent, c'est pour des études de signe, auquel cas une forme fractionnaire est aussi satisfaisante...sans compter qu'en DS de prépa, ya peu de chances qu'on nous rappelle de factoriser avant d'étudier le signe, et donc ce genre de questions sera peu posé tel quel

Et juste pour te faire plaisir : pourquoi N et pas Z ?

[inviteaeeb6d8b]

Bon, j'arrête, de chipoter, et je donne une meilleure raison d'accepter ma réponse : si on nous demande de délinéariser ce genre, d'expressions, très souvent, c'est pour des études de signe, auquel cas une forme fractionnaire est aussi satisfaisante...sans compter qu'en DS de prépa, ya peu de chances qu'on nous rappelle de factoriser avant d'étudier le signe, et donc ce genre de questions sera peu posé tel quel

Et juste pour te faire plaisir : pourquoi N et pas Z ?

Justement parce que l'idée de l'exercice c'est d'éviter les fractions

[invitea250c65c]

Pour le en évitant les fractions :
On se doute qu'il va falloir utiliser pour commencer à factoriser.
Si on l'applique à sin(x)+sin(5x), le (p+q)/2 vaut ici 3x, on va donc avoir du sin(3x) en facteur dans notre nouvelle expression, on pourra donc mettre sin(3x) en facteur commun.
Si je ne dis pas bêtise, on obtient . Si on veut encore plus factoriser, on peut par exemple écrire que ca vaut , mais si c'est pour une étude de signe par exemple la première factorisation est suffisante.

Bon, il faudrait modifier l'énoncé en :
Toutes ces expressions peuvent se mettre sous la forme .
A vous de trouver , et (avec et )

Ca parait moins évident en revanche, si quelqu'un à une solution je veux bien.

A+

[invitea250c65c]

Je vous propose mes résultats aux exercices proposés, ce n'est pas détaillé (la flemme de tout écrire ), j'ai juste parfois indiqué comment j'ai fait.
Pouvez vous me dire si c'est bon SVP.

Exercice 1

Transformer en produits les expressions suivantes :

 Cliquez pour afficher

Je trouve :
A=2sin(3x)cos(2x)
B=sin(3x)(2cos(2x)+1)
C=2sin(2x)(cos(x)+1)= 4sin(2x) cos²(x/2)
D=2cos(2x) (cos(x)+1)=4cos(2x)cos²(x/2)

F=cos(x) (2cos(x)+1)
Pour la B et la F, on pourrait encore plus factoriser (en écrivant que , cf mon message précédent), mais je ne sais pas si c'était réellement ce qu'on attendait.

Exercice 2
Calculer et [indication : utiliser cos(a-b) avec a et b bien choisis] puis résoudre :

 Cliquez pour afficher

Je trouve et
Pour l'équation, je trouve ou et la calculatrice confirme, mais je ne vois pas trop le rapport avec le début de l'exercice, je suppose qu'il doit y avoir moyen de simplifier ca avec du non ?
Pour cette résolution on peut également poser t=tan(x/2) ... .

Exercice 3
On considère l'équation
1) La résoudre
2) La mettre sous la forme où est un polynôme
3) En déduire la valeur exacte de

 Cliquez pour afficher

1) ou avec k entier relatif (formules sin(p)-sin(q)= ... )
2) (E) équivaut à
3) On en déduit

Exercice 4 (Pas fastoche)

Résoudre dans le système suivant :

 Cliquez pour afficher

On exprime tout en fonction de cos(x) et cos(y) puis X=cos(x), Y=cos(y) ... .
Je trouve ou , ce qui fait au total 8 couples solutions.
Je n'ai pas travaillé par équivalences jusqu'à la fin du système sinon c'est vraiment lourd au niveau de l'écriture, donc j'ai vérifié mes solutions à la fin.

Exercice 5 (Pas très dur avec les indications)

Calculer : (sans utiliser de développement limité, évidemment)

 Cliquez pour afficher

En fait j'ai imprimé les exos et j'ai enlevé les indications, du coup je n'ai pas utilisé la même méthode que toi :
Je trouve que la limite vaut 0, voici par exemple deux méthodes :
-Pour tout x tel que la fraction existe : et donc ca tend vers 0.
-Pour tout x tel que la fraction existe : (on multiplie en haut et en bas par 1+cos(x) pour faire apparaitre du cos²(x) et le tranformer en in²(x) qui va se simplifier en bas), soit finalement et on retrouve bien que ca tend vers 0.
La premiere méthode est quand même plus rapide.

Exercice 6 (Pas fastoche)

Résoudre dans :

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J'ai posé , ca revient au même que ce qu'a propsé QuentinLat (car cos(-X)=cos(X)) et donc faut pas se planter après avec les valeurs absolues.
Je trouve x=0 ou ou .
L'idée c'est de remplacer les sinus sous les racines par du cosinus pour pouvoir ensuite simplifier les racines ( et ... et c'est là ou on se retrouve avec des valeurs absolues (et un facteur mais celui ci s'annule par la suite), il faut alors distinguer plusieurs cas (pour enlever les valeurs absolues).

Exercice 7 (le plus important)

Calculer

 Cliquez pour afficher

Je trouve

Pouvez vous me dire s'il y a des choses incorrectes SVP.

Je propose aux futurs taupins une autre somme trigo à calculer : calculer . C'est du même niveau que l'autre somme, pas besoin d'autres connaissances que celles de TS.

A+

[invite263d7f23]

Par rapport à la correction du F de l'exercice 1,
, non ?