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Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa



  1. #1
    QuentinLAT

    Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa


    ------

    Bonjour !

    L'an dernier, je stressais en me demandant ce que je pourrais bien faire pour préparer mon entrée en prépa. On me répondit "trigonométrie" (ça tombe bien, ça rime), j'appris donc un formulaire pour l'oublier 72h après. Pour que ça n'arrive pas à mes valeureux futures collègues, je propose quelques exercices que j'ai eu en début d'année (Chapitre 00 : Révision de terminale), avec indications pour que tout le monde puisse les faire

    Bon courage !

    Exercice 0

    Les exercices 4 à 7 de cette feuille http://people.math.jussieu.fr/~jacob...gonometrie.pdf

    Exercice 1

    Transformer en produits les expressions suivantes :








    Exercice 2
    Calculer et [indication : utiliser cos(a-b) avec a et b bien choisis] puis résoudre :


    Méthode de résolution :
    L'équation est sous la forme . Il faut la diviser par
    On obtiendra alors la forme équivalente : avec , et Et il se trouve que , donc il existe tel que et . A partir de là, on utilise une formule trigo' et on regarde s'il existe tel que , et on conclue..


    Exercice 3

    [*] On considère l'équation
    1) La résoudre
    2) La mettre sous la forme est un polynôme
    3) En déduire la valeur exacte de

    Exercice 4 (Pas fastoche)

    Résoudre dans le système suivant :

    (C'est pas facile, je vous préviens)

    Indications :

    -Se ramener à résoudre avec un polynôme..
    -Ne pas se planter dans les longs calculs
    -C'est normal de trouver comme ensemble des solutions une union de 8 ensembles..

    Exercice 5 (Pas très dur avec les indications)

    Calculer :



    (sans utiliser de développement limité, évidemment)

    Indications :
    -Faire "+1/-1" au numérateur et séparer la fraction en deux parties
    -Chercher à utiliser les seules limites connues : et
    -Le résultat est 0

    Exercice 6 (Pas fastoche)

    Résoudre dans :



    Je viens de le refaire c'est pas évident en fait.
    Indications :
    -Il faut poser
    -Puis, distinguer 4 cas pour éliminer les valeurs absolues
    -L'ensemble des solutions est

    Exercice 7 (le plus important)

    Calculer

    Indications : , et pensez à utiliser la somme des termes d'une suite géométrique, puis mettre en facteurs aux numérateurs et dénominateurs et respectivement, pour finir conclure en utilisant la formule d'Euler pour le sinus

    Si je me suis pas trompé ça donne (sélectionner pour voir) : cos(n/2)*sin((n+1)/2)/sin(1/2)



    Ce sont des exercices de TD donnés en PCSI² à Fabert par M. Parise.
    [color=red]
    Je suis à votre disposition pour de l'aide supplémentaire, tout comme les autres membres du forum j'imagine [/color=red]

    -----
    Dernière modification par QuentinLAT ; 17/07/2008 à 21h32.
    PC*

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  3. #2
    GalaxieA440

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Merci beacoup pour cette proposition, je ferai le tout

    +++ A très bientôt

    EDIT : au niveau du "sélectionner pour voir", tu peux aussi utiliser les balises SPOIL
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  4. #3
    QuentinLAT

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Ah oui ! Tout à fait, ça m'aurait bien servi pour toutes les indications en fait. Mais je ne peux plus éditer le message (faute à la limite de 5min, qui est très fatiguante.. j'aime bien retravailler mes messages)

    Bon courage, et bonne rentrée
    PC*

  5. #4
    GalaxieA440

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Euhh, quand tu dis en produits, c'est seulement en produit de cos et de sin, ou alos des sommes peuvent apparaître dans les facteurs ???

    Exemple :

    Exercice 1 : F

     Cliquez pour afficher
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    ericcc

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Non Galaxie ce n'est pas suffisant, regarde l'exercice 7 pour trouver la formule générale

  8. #6
    M I L A S

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Non Galaxie ce n'est pas suffisant, regarde l'exercice 7 pour trouver la formule générale
    Exact de toute facon, un des grands principes en maths, c'est de trouver (en fait les grands cerveaux scientifiques les ont chercher par curiosité) une formule simple, et la généraliser dans un cas plus général, pour ensuite l'appliquer dans n'importe quel cas particulier, puisque vrai dans le "général"...
    Bon je sais, c'est pas super rigoureux ce que je viens de dire, mais avec quelques quantificateurs, valeurs propres, et assertions, ca passe allez courage, ce n'est que le début d'un long amour réciproque des maths
    "Tout est relatif, sauf le relatif, qui est constant et fixe."

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  10. #7
    GalaxieA440

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Citation Envoyé par M I L A S Voir le message
    ce n'est que le début d'un long amour réciproque des maths
    Lol ça me rappel énormément quelqu'un de pour le moins...... bizzare

    Je vais m'y mettre.

    +++
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  11. #8
    thehoops

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    merci pour ces exercices je vais les faire si je bloque je ferait signe


    pour info je rentre en MPSI
    "Les mathématiques sont la poésie de la science"

  12. #9
    QuentinLAT

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Personne n'a de questions ?
    PC*

  13. #10
    GalaxieA440

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Si je vais en avoir très bientôt parce qu'avant de commencer le chapitre sur les complexes je vais me remettre à jour en trigo.

    Pour l'instant les 4 exos que tu conseils pour le TD (exo 0), c'est bon, j'en ai même fait d'autre sur l'injectivité, surjectivité, etc... car je suis en même temps sur ce chapitre (raisonement, ensembles...)...

    Donc je m'y met très bientôt, et je rajouterai même quelques exos et liens pdf pour les intéressés , mais les exos que tu proposes sont très bons

    +++
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  14. #11
    GalaxieA440

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Pour l'exercice 5, je propose un début :

     Cliquez pour afficher


    Bon début ?

    Merci

    +++
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  15. #12
    ericcc

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Oui c'est un bon début. Ensuite le truc c'est de ne pas passer par le conjugué et tout le bazar.
    Au numérateur tu mets exp i(n+1)/2 en facteur, et au dénominateur exp i/2. Ca va se simplifier.

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  17. #13
    GalaxieA440

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    exercice 5

     Cliquez pour afficher


    Très joli, je ne pense pas que j'aurais pu trouver l'astuce de factorisation tout seul...

    Petite question, la démonstration ainsi faite est elle suffisante ou alors faut il repasser par récurrence derrière ?

    +++

    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  18. #14
    QuentinLAT

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Salut !
    Il n'y a aucune raison de faire une récurrence, c'est des égalités, donc le résultat est démontré ! Tu fais une récurrence uniquement quand tu as besoin de la proposition à l'ordre n-1 pour le démontrer

    A+
    PC*

  19. #15
    GalaxieA440

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Okay

    Me semblait que de faire des démos du genre a+b+....+n = bidule impliquait une récurrence ensuite, justement parce qu'on trimballe tout le long des "..."

    +++
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  20. #16
    GalaxieA440

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Euuuhh

    Concernant l'exo 1 : faut utiliser les formules d'euler et faire un truc du genre :

     Cliquez pour afficher


    J'utilise pas la bonne méthode, il faut vraiment qu'il n'y ait plus aucune somme ?
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  21. #17
    hppc

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    bonjour à tous, je voulais commencer à faire ces exercices mais je bloque sur une demonstration qui doit etre toute bête... j'arrive pas à demontrer la relation suivante:

    cos x + cos y = 2 cos ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

    et les 3 autres bien sur...

    quelqu'un veut il bien m'aider svp? merci

  22. #18
    GalaxieA440

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Pour l'exo deux :

    Solutions :

     Cliquez pour afficher


    Bon ?

    +++

    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

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  24. #19
    GalaxieA440

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Citation Envoyé par hppc Voir le message
    cos x + cos y = 2 cos ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

    et les 3 autres bien sur...
    euhh, c'est des formules du cours, mais je n'ai pas les démos...
    Je chercherai

    +++

    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  25. #20
    Romain-des-Bois

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Avant le sin(x)+sin(5x), tu peux faire le sin(x)+sin(3x) qui :
    (1) est à mon avis plus simple
    (2) t'aidera pour le sin(x)+sin(5x)

    Pour , quelques indications :

    La première
     Cliquez pour afficher


    Si tu bloques toujours la deuxième
     Cliquez pour afficher


    Si tu bloques toujours la troisième
     Cliquez pour afficher


    Finalement, on doit trouver
     Cliquez pour afficher

    (sauf erreur de ma part)

    Romain

  26. #21
    Romain-des-Bois

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Pour les formules "du cours" :

    il faut connaître (au-moins) ces deux :



    les formules "des produits" s'en déduisent...

    Pour les démontrer, la méthode bourrine consiste à utiliser les formules :


    et on sent bien que moyennant des gros calculs, on y arrive...

    Romain

  27. #22
    GalaxieA440

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Ok donc il ne faut que des facteurs au final

    Merci je vais regarder ça

    +++

    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  28. #23
    hppc

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    d'accord merci romain-des-bois

  29. #24
    QuentinLAT

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Citation Envoyé par GalaxieA440 Voir le message
    Pour l'exo deux :

    Solutions :

     Cliquez pour afficher


    Bon ?

    +++

    Oui je crois. Je vérifierai.
    PC*

  30. Publicité
  31. #25
    QuentinLAT

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Pour les formules "du cours" :

    il faut connaître (au-moins) ces deux :



    les formules "des produits" s'en déduisent...

    Pour les démontrer, la méthode bourrine consiste à utiliser les formules :


    et on sent bien que moyennant des gros calculs, on y arrive...

    Romain
    Il y a vraiment plus élégant je trouve.. Ma préférée : géométriquement avec un petit changement de repère.
    Sinon, tout simplement en écrivant , c'est beaucoup mieux que de passer par Euler, ce qui rallonge la sauce pour rien
    PC*

  32. #26
    GalaxieA440

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa



     Cliquez pour afficher


    J'ai compris, les autres devrait aller, je repost si problèmes...

    Merci

    +++

    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  33. #27
    ericcc

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Citation Envoyé par GalaxieA440 Voir le message
    Euuuhh

    Concernant l'exo 1 : faut utiliser les formules d'euler et faire un truc du genre :

     Cliquez pour afficher


    J'utilise pas la bonne méthode, il faut vraiment qu'il n'y ait plus aucune somme ?
    Plutot utiliser la formule sinp+sinq=...(astuce pour retrouver cette formule : poser p=(x+y)/2 et q=(x-y)/2 et développer)

  34. #28
    Romain-des-Bois

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Citation Envoyé par QuentinLAT Voir le message
    Sinon, tout simplement en écrivant , c'est beaucoup mieux que de passer par Euler, ce qui rallonge la sauce pour rien
    Là, effectivement, tu as bien raison

  35. #29
    ericcc

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Citation Envoyé par GalaxieA440 Voir le message


     Cliquez pour afficher


    J'ai compris, les autres devrait aller, je repost si problèmes...

    Merci

    +++

    Plus simple : sinp+sinq=2 sin(p+q)/2 cos(p-q)/2

    Donc sin3x+sinx=2 sin2x cosx

  36. #30
    GalaxieA440

    Re : Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

    Oui je m'en suis rendu compte récément, en lisant les cours de prépa sur les complexes.....



    Pour les autres, je galère un peu, c'est assez long...

    Je reposte si problèmes

    Merci à tous

    ++

    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

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