Exercices de trigonométrie pour préparer votre entrée en prépa

[invite8d322e93]

Bonjour !

L'an dernier, je stressais en me demandant ce que je pourrais bien faire pour préparer mon entrée en prépa. On me répondit "trigonométrie" (ça tombe bien, ça rime), j'appris donc un formulaire pour l'oublier 72h après. Pour que ça n'arrive pas à mes valeureux futures collègues, je propose quelques exercices que j'ai eu en début d'année (Chapitre 00 : Révision de terminale), avec indications pour que tout le monde puisse les faire

Bon courage !

Exercice 0

Les exercices 4 à 7 de cette feuille http://people.math.jussieu.fr/~jacob...gonometrie.pdf

Exercice 1

Transformer en produits les expressions suivantes :








Exercice 2
Calculer et [indication : utiliser cos(a-b) avec a et b bien choisis] puis résoudre :


Méthode de résolution :
L'équation est sous la forme . Il faut la diviser par
On obtiendra alors la forme équivalente : avec , et Et il se trouve que , donc il existe tel que et . A partir de là, on utilise une formule trigo' et on regarde s'il existe tel que , et on conclue..


Exercice 3

[*] On considère l'équation
1) La résoudre
2) La mettre sous la forme où est un polynôme
3) En déduire la valeur exacte de

Exercice 4 (Pas fastoche)

Résoudre dans le système suivant :

(C'est pas facile, je vous préviens)

Indications :

-Se ramener à résoudre avec un polynôme..
-Ne pas se planter dans les longs calculs
-C'est normal de trouver comme ensemble des solutions une union de 8 ensembles..

Exercice 5 (Pas très dur avec les indications)

Calculer :



(sans utiliser de développement limité, évidemment)

Indications :
-Faire "+1/-1" au numérateur et séparer la fraction en deux parties
-Chercher à utiliser les seules limites connues : et
-Le résultat est 0

Exercice 6 (Pas fastoche)

Résoudre dans :



Je viens de le refaire c'est pas évident en fait.
Indications :
-Il faut poser
-Puis, distinguer 4 cas pour éliminer les valeurs absolues
-L'ensemble des solutions est

Exercice 7 (le plus important)

Calculer

Indications : , et pensez à utiliser la somme des termes d'une suite géométrique, puis mettre en facteurs aux numérateurs et dénominateurs et respectivement, pour finir conclure en utilisant la formule d'Euler pour le sinus

Si je me suis pas trompé ça donne (sélectionner pour voir) : cos(n/2)*sin((n+1)/2)/sin(1/2)



Ce sont des exercices de TD donnés en PCSI² à Fabert par M. Parise.
[color=red]
Je suis à votre disposition pour de l'aide supplémentaire, tout comme les autres membres du forum j'imagine [/color=red]
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[invite787dfb08]

Merci beacoup pour cette proposition, je ferai le tout

+++ A très bientôt

EDIT : au niveau du "sélectionner pour voir", tu peux aussi utiliser les balises SPOIL

[invite8d322e93]

Ah oui ! Tout à fait, ça m'aurait bien servi pour toutes les indications en fait. Mais je ne peux plus éditer le message (faute à la limite de 5min, qui est très fatiguante.. j'aime bien retravailler mes messages)

Bon courage, et bonne rentrée

[invite787dfb08]

Euhh, quand tu dis en produits, c'est seulement en produit de cos et de sin, ou alos des sommes peuvent apparaître dans les facteurs ???

Exemple :

Exercice 1 : F

 Cliquez pour afficher

C'est suffisant ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Non Galaxie ce n'est pas suffisant, regarde l'exercice 7 pour trouver la formule générale

[invite43bf475e]

Non Galaxie ce n'est pas suffisant, regarde l'exercice 7 pour trouver la formule générale

Exact de toute facon, un des grands principes en maths, c'est de trouver (en fait les grands cerveaux scientifiques les ont chercher par curiosité) une formule simple, et la généraliser dans un cas plus général, pour ensuite l'appliquer dans n'importe quel cas particulier, puisque vrai dans le "général"...
Bon je sais, c'est pas super rigoureux ce que je viens de dire, mais avec quelques quantificateurs, valeurs propres, et assertions, ca passe allez courage, ce n'est que le début d'un long amour réciproque des maths

[invite787dfb08]

ce n'est que le début d'un long amour réciproque des maths

Lol ça me rappel énormément quelqu'un de pour le moins...... bizzare

Je vais m'y mettre.

+++

[invitec8fee7e6]

merci pour ces exercices je vais les faire si je bloque je ferait signe


pour info je rentre en MPSI

[invite8d322e93]

Personne n'a de questions ?

[invite787dfb08]

Si je vais en avoir très bientôt parce qu'avant de commencer le chapitre sur les complexes je vais me remettre à jour en trigo.

Pour l'instant les 4 exos que tu conseils pour le TD (exo 0), c'est bon, j'en ai même fait d'autre sur l'injectivité, surjectivité, etc... car je suis en même temps sur ce chapitre (raisonement, ensembles...)...

Donc je m'y met très bientôt, et je rajouterai même quelques exos et liens pdf pour les intéressés , mais les exos que tu proposes sont très bons

+++

[invite787dfb08]

Pour l'exercice 5, je propose un début :

 Cliquez pour afficher

et il faut que je calcule la partie Re de ça, donc que je remplace la forme expo par la forme trigo et que je multiplie par le conjugué ? J'ose pas encore trop le faire parceque ça va être énormément lourd...

Bon début ?

Merci

+++

[inviteaf1870ed]

Oui c'est un bon début. Ensuite le truc c'est de ne pas passer par le conjugué et tout le bazar.
Au numérateur tu mets exp i(n+1)/2 en facteur, et au dénominateur exp i/2. Ca va se simplifier.

[invite787dfb08]

exercice 5

 Cliquez pour afficher

Très joli, je ne pense pas que j'aurais pu trouver l'astuce de factorisation tout seul...

Petite question, la démonstration ainsi faite est elle suffisante ou alors faut il repasser par récurrence derrière ?

+++

[invite8d322e93]

Salut !
Il n'y a aucune raison de faire une récurrence, c'est des égalités, donc le résultat est démontré ! Tu fais une récurrence uniquement quand tu as besoin de la proposition à l'ordre n-1 pour le démontrer

A+

[invite787dfb08]

Okay

Me semblait que de faire des démos du genre a+b+....+n = bidule impliquait une récurrence ensuite, justement parce qu'on trimballe tout le long des "..."

+++

[invite787dfb08]

Euuuhh

Concernant l'exo 1 : faut utiliser les formules d'euler et faire un truc du genre :

 Cliquez pour afficher

A :
J'ai du mal à factoriser plus que ça avec cette méthode (le polynôme est factorisable, mais balèze...).

J'utilise pas la bonne méthode, il faut vraiment qu'il n'y ait plus aucune somme ?

[invite46a05d69]

bonjour à tous, je voulais commencer à faire ces exercices mais je bloque sur une demonstration qui doit etre toute bête... j'arrive pas à demontrer la relation suivante:

cos x + cos y = 2 cos ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

et les 3 autres bien sur...

quelqu'un veut il bien m'aider svp? merci

[invite787dfb08]

Pour l'exo deux :

Solutions :

 Cliquez pour afficher

Bon ?

+++

[invite787dfb08]

cos x + cos y = 2 cos ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

et les 3 autres bien sur...

euhh, c'est des formules du cours, mais je n'ai pas les démos...
Je chercherai

+++

[inviteaeeb6d8b]

Avant le sin(x)+sin(5x), tu peux faire le sin(x)+sin(3x) qui :
(1) est à mon avis plus simple
(2) t'aidera pour le sin(x)+sin(5x)

Pour , quelques indications :

La première

 Cliquez pour afficher

il faut écrire : sin(3x) = sin(x+2x), puis appliquer le célèbre sin(a+b) = sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)

Si tu bloques toujours la deuxième

 Cliquez pour afficher

Après avoir appliqué la formule précédente, tu te retrouves avec du et du ce que tu peux aussi transformer...

Si tu bloques toujours la troisième

 Cliquez pour afficher

Une fois tout ceci fait, tu peux factoriser par , et il faut alors se rappeler que

Finalement, on doit trouver

 Cliquez pour afficher

(sauf erreur de ma part)

Romain

[inviteaeeb6d8b]

Pour les formules "du cours" :

il faut connaître (au-moins) ces deux :



les formules "des produits" s'en déduisent...

Pour les démontrer, la méthode bourrine consiste à utiliser les formules :


et on sent bien que moyennant des gros calculs, on y arrive...

Romain

[invite787dfb08]

Ok donc il ne faut que des facteurs au final

Merci je vais regarder ça

+++

[invite46a05d69]

d'accord merci romain-des-bois

[invite8d322e93]

Pour l'exo deux :

Solutions :

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Bon ?

+++

Oui je crois. Je vérifierai.

[invite8d322e93]

Pour les formules "du cours" :

il faut connaître (au-moins) ces deux :



les formules "des produits" s'en déduisent...

Pour les démontrer, la méthode bourrine consiste à utiliser les formules :


et on sent bien que moyennant des gros calculs, on y arrive...

Romain

Il y a vraiment plus élégant je trouve.. Ma préférée : géométriquement avec un petit changement de repère.
Sinon, tout simplement en écrivant , c'est beaucoup mieux que de passer par Euler, ce qui rallonge la sauce pour rien

[invite787dfb08]

 Cliquez pour afficher

J'ai compris, les autres devrait aller, je repost si problèmes...

Merci

+++

[inviteaf1870ed]

Euuuhh

Concernant l'exo 1 : faut utiliser les formules d'euler et faire un truc du genre :

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A :
J'ai du mal à factoriser plus que ça avec cette méthode (le polynôme est factorisable, mais balèze...).

J'utilise pas la bonne méthode, il faut vraiment qu'il n'y ait plus aucune somme ?

Plutot utiliser la formule sinp+sinq=...(astuce pour retrouver cette formule : poser p=(x+y)/2 et q=(x-y)/2 et développer)

[inviteaeeb6d8b]

Sinon, tout simplement en écrivant , c'est beaucoup mieux que de passer par Euler, ce qui rallonge la sauce pour rien

Là, effectivement, tu as bien raison

[inviteaf1870ed]

 Cliquez pour afficher

J'ai compris, les autres devrait aller, je repost si problèmes...

Merci

+++

Plus simple : sinp+sinq=2 sin(p+q)/2 cos(p-q)/2

Donc sin3x+sinx=2 sin2x cosx

[invite787dfb08]

Oui je m'en suis rendu compte récément, en lisant les cours de prépa sur les complexes.....



Pour les autres, je galère un peu, c'est assez long...

Je reposte si problèmes

Merci à tous

++