Question sur les fonctions L^p

**Garnet** · 22/07/2008, 09h44

Bonjour,
Je voudrais savoir si la chose suivante est vraie et comment on la démontre:

Soit $f$ une fonction mesurable, $p,q$ tels que $1/p+1/q =1$ . On suppose que
$\forall g \in L^q, \int_X fg < +\infty$ .
Alors $f \in L^p$

Voilà. Si nécessaire vous pouvez supposez que l'espace est sigma-fini.
Merci.

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**Romain-des-Bois** · 22/07/2008, 09h52

Salut,

à mon avis, il faut partir de l'inégalité de Holder (ou s'en servir).

Si f et g sont respectivement dans $L^p$ et $L^q$ (avec p et q qui vérifient...) alors fg est dans $L^1$ et $||{fg}||_1 \leq ||{f}||_p ||{g}||_q$

**Romain-des-Bois** · 22/07/2008, 10h05

Hmmm.... mouais... pas mieux...

invite986312212 · 23/07/2008, 08h19

salut,

je ne suis pas spécialiste, mais puisque personne de donne de réponse définitive, je me lance:

- la remarque de Romain-des-Bois montre que ton hypothèse n'est pas suffisante, puisque si f était dans $L^p$ l'inégalité de Hölder serait vérifiée, et elle ne figure pas dans l'hypothèse. Je la modifie donc comme suit:

soit $f$ mesurable, telle que $(\exists K>0)(\forall g\in L^q)(\left |\int fg\right | \,< \, K ||g||_q)$ . En d'autres termes, l'opérateur $u_f : g\rightarrow \int fg$ est continu. Mais je ne suis pas sûr que cette condition soit suffisante en toute généralité. Si on particularise à des $L^p(X,\mu)$ où $X$ est un espace de Banach de dimension finie (avec la tribu et la mesure boréliennes bien sûr), alors on sait que $L^p$ est le dual de $L^q$ . Alors il existe $h\in L^p$ tel que $u_f(g)=\int hg$ pour tout $g$ . Il reste à montrer que $f=h$ $\mu.p.p$ , ce que je ne sais pas faire proprement. Je pense qu'on y arrive en prenant des suites de fonctions $g$ qui convergent vers une Dirac en $x_0$ (pour presque tout $x_0$ ).

maintenant dans le cas général, il n'y a plus de dualité, ce qui me fait intuiter que ça ne doit pas aller dans ce cas.

voilà, en espérant que ça aide.

**Garnet** · 23/07/2008, 10h23

J'avais aussi penser à rajouter cette hypothèse.
Ce que je pense judicieux de faire c'est de commencer par le cas où $X$ est de mesure fini (et aussi $f>0$ si on veut...). On pose alors $f_n = f \chi_{ \{ |f| \leq n \} }$ qui est dans $L^q$ puisque bornée sur un espace de mesure finie. Donc a $\int_X f f_n^{q-1} \leq K ||f_n||_p = K \left( \int_X f_n^{q} \right)^{1/p}$ . Après il faut faire tendre $n$ vers $+\infty$ , mais là je bloque...

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