Question sur les fonctions L^p

[invitea41c27c1]

Bonjour,
Je voudrais savoir si la chose suivante est vraie et comment on la démontre:

Soit une fonction mesurable, tels que . On suppose que
.
Alors

Voilà. Si nécessaire vous pouvez supposez que l'espace est sigma-fini.
Merci.
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[Romain-des-Bois]

Salut,

à mon avis, il faut partir de l'inégalité de Holder (ou s'en servir).

Si f et g sont respectivement dans et (avec p et q qui vérifient...) alors fg est dans et

[Romain-des-Bois]

Hmmm.... mouais... pas mieux...

[invite986312212]

salut,

je ne suis pas spécialiste, mais puisque personne de donne de réponse définitive, je me lance:

- la remarque de Romain-des-Bois montre que ton hypothèse n'est pas suffisante, puisque si f était dans l'inégalité de Hölder serait vérifiée, et elle ne figure pas dans l'hypothèse. Je la modifie donc comme suit:

soit mesurable, telle que . En d'autres termes, l'opérateur est continu. Mais je ne suis pas sûr que cette condition soit suffisante en toute généralité. Si on particularise à des où est un espace de Banach de dimension finie (avec la tribu et la mesure boréliennes bien sûr), alors on sait que est le dual de . Alors il existe tel que pour tout . Il reste à montrer que , ce que je ne sais pas faire proprement. Je pense qu'on y arrive en prenant des suites de fonctions qui convergent vers une Dirac en (pour presque tout ).

maintenant dans le cas général, il n'y a plus de dualité, ce qui me fait intuiter que ça ne doit pas aller dans ce cas.

voilà, en espérant que ça aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea41c27c1]

J'avais aussi penser à rajouter cette hypothèse.
Ce que je pense judicieux de faire c'est de commencer par le cas où est de mesure fini (et aussi si on veut...). On pose alors qui est dans puisque bornée sur un espace de mesure finie. Donc a . Après il faut faire tendre vers , mais là je bloque...