Sous-groupes engendrés

[invite2734a185]

Bonsoir à tous !

Je suis nouveau dans le coin et j'ai cru voir que les gens s'entraident avec rigueur dans la bonne humeur, donc j'ai décidé de venir chercher un peu d'aide par là .

Alors voilà, j'ai vraiment toujours eu un problème avec les Maths ; je ne m'y intéressais pas jusqu'au lycée et maintenant me voilà un peu perdu dans le supérieur car le programme est encore plus abstrait...
Enfin bref, comme le titre l'indique, je suis complètement perdu dans l'algèbre des groupes, et plus spécifiquement à partir du moment où ça parle de sous-groupes engendrés. Le truc c'est que j'ai beau lire mon cours et chercher des compléments sur le net, c'est jamais clair dans mon esprit, y a toujours quelque chose qui cloche ou qui me paraît pas net ; et ça c'est parce que je me suis totalement désintéressé à cette matière pendant un long moment...

Le contexte donné, voilà un premier point qui me titille :

Si j'ai bien compris, un sous-groupe engendré, c'est l'intersection des sous-groupes d'un groupe qui possèdent une même partie de ce dernier.
J'ai déjà du mal à visualiser ça dans mon esprit ; bien que je connaisse les définitions associées.
Ensuite, j'ai vraiment du mal à comprendre en quoi le sous-groupe engendré et le groupe dont il est issu sont liés. Dans mon cours par exemple, on marque la ligne suivante à propos de la notion de groupe cyclique :

(Z, +) = <1>

J'ai une vague idée de ce à quoi cela peut correspondre, mais des choses me gênent :

- Je cerne mal l'égalité ; Z est un groupe infini alors que <1> est un sous-groupe de Z, donc je vois mal comment un ensemble plus petit peut être inclus dans ce plus grand.
- Enfin, j'ai cru lire qu'à partir d'un groupe monogène comme celui-ci, on peut reconstruire le groupe à partir de la lci. Cependant, je vois mal comment ça marche : j'imagine que ça doit fonctionner selon le principe de 1^n, soit 1+1+1+....+1+1 (n fois). Mais cette méthode fonctionne dans N, pas dans Z (les négatifs sont zapés là)...
- Par là même occasion, quelque chose que je ne comprends pas, c'est que un élément a engendrant un groupe puisse donner l'élément neutre du groupe au bout de n opérations via la lci... Je me suis déjà retrouvé à devoir prouver que a^n = e mais je comprends vraiment pas comment ça peut être le cas...


Bref, vous aurez compris que je suis assez paumé, faute de manipulation régulière. Pourtant j'aimerais vraiment comprendre comment ça fonctionne tout ça, autant pour ma culture que pour mes études.
J'en demande beaucoup, j'en ai conscience, mais j'espère que vous saurez m'éclaircir.

Mille mercis par avance !
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[invite4ef352d8]

Alors c'est partie !


Dans un premier temps, la bonne image qu'il faut avoir de "sous- groupe engendré" par une partie S c'est que c'est l'ensemble des élement que tu peut ecrire à partir des élement de S, en appliquant plusieur fois la lois de composition et le passage à l'niverse.

Par exemple dans (Z,+) on a Z = <1> car tous element de Z s'ecrit 1+...+1 un certain nombre de fois, ou - (1+1+1+1..+1).

bien su c'est aussi le plus petit sous groupe qui contiens S, ou encore l'intersection de tous les sous groupe contenant S.


Pour ce qui est du a^n=e, c'est parceque les structures de groupes sont beaucoup plus riche que tu l'imagine : il existe beaucoup d'autre groupe que Z !
Par exemple le groupe ({0,1},+) définit par :
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=0
(je te laisse vérifier que c'est un groupe, et que 0 est le neutre... on l'appelle en géneral ' Z/2Z ' ) est un groupe ou 1+1=0 (ce qui correpond en notation multiplicative à un a^2=e )

autre exemple, je peut considérer pour n fixé le groupe : Un = "l'ensemble des rotation du plan de centre 0 et d'angle 2Pi/n", c'est un groupe ou tous les element vérifie a^n=e

[invite2734a185]

Merci beaucoup pour ta réponse !

Si je comprends bien ce que tu expliques, c'est que si on a un groupe G et qu'on considère une partie A, alors <A> est l'ensemble des éléments qu'on peut créer à partir des éléments de A et de la LCI de G ; est-ce bon ?

Si c'est ça, c'est que je m'embrouillais complètement avec ce que représentait <A> ; je pensais que c'était concrètement A... Alors qu'au final on a G, les éléments de la partie A, et ceux engendrés par A (3 alors que pour moi il n'y en avait que 2)... aïe aïe aïe...

Mais du coup, <A> contient A mais pas seulement puisqu'il possède également les nombres issus des opérations entre éléments de A ?


Pour le a^n=e, j'avais pensé au coup des classes d'équivalence ^^ .
Mais du coup ça veut dire que cette loi n'est pas toujours vérifiée ?
A moins que a^0=e dans tous les cas ?

En tout cas, le coup du a^n=e avec le groupe 2pi/n est bien sympa pour comprendra !


Pfiou, je trouve ça intéressant mais complexe à la fois (et tellement mal expliqué par mon prof)...
Merci encore beaucoup pour ta réponse, et si d'autres personnes peuvent me donner leur avis, je suis preneur !

[invitebe0cd90e]

Si je comprends bien ce que tu expliques, c'est que si on a un groupe G et qu'on considère une partie A, alors <A> est l'ensemble des éléments qu'on peut créer à partir des éléments de A et de la LCI de G ; est-ce bon ?

exact. L'idée c'est que si tu prends une partie A quelconque, A n'a aucune raison d'etre un sous groupe. Donc <A> est le "plus petit groupe" qui contient A, cad que tu rajoutes a A le minimum pour en faire un sous groupe.

Mais du coup, <A> contient A mais pas seulement puisqu'il possède également les nombres issus des opérations entre éléments de A ?

Oui

Pour le a^n=e, j'avais pensé au coup des classes d'équivalence ^^ .
Mais du coup ça veut dire que cette loi n'est pas toujours vérifiée ?
A moins que a^0=e dans tous les cas ?

Oui, a^0=e dans tous les cas par convention (comme pour les puissances "habituelles"). Mais en général on s'interresse surtout a l'existence d'un n >0 tel que a^n=0. S'il en existe, le plus petit d'entre eux s'appelle l'ordre de a, et on dit que a est d'ordre fini.

Dans un groupe ayant un nombre fini d'elements, tous les elements sont d'ordre fini (ce n'est pas si evident !). Dans un groupe infini, touts les situations se rencontrent : il existe meme des groupes infini dont tous les éléments sont d'ordre fini, et meme de meme ordre (sauf e, evidemment) !

La notion de groupe est extremement vaste, c'est un peu le juste milieu, les axiomes sont assez fort pour qu'on puisse demontrer des resultats tres puissants, et assez faible pour que "beaucoup de gens" puissent etre des groupes, donc on rencontre tres vite des groupes franchement bizzares....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2734a185]

Merci beaucoup pour ta réponse !
Je commence à y voir beaucoup plus clair ; je vais continuer de me le rabâcher un petit moment tout en lisant des exemples et ça devrait être bon !

Tu abordes l'ordre d'un élément, et ça tombe bien car ça me fait penser que j'ai une dernière question à ce propos (désolé d'en poser autant ^^) :

Si on a un élément a engendrant un sous-groupe <a>, on a deux cas possibles sur l'ordre de a :

- ord(a) est fini i.e. il existe un plus petit n>0 tel que a^n=e.
- ord(a) est infini (le cas des classes d'équivalence j'imagine).

J'aimerais savoir, l'ordre d'un élément n'est donc utile que pour un groupe avec une partie ne possédant qu'un seul élément (pour les groupes cycliques et tout ça) ? On ne s'amusera jamais à calculer l'ordre de tous les éléments d'une partie comprenant plusieurs éléments ?
Je sais pas si c'est très clair, mais au moins que je déballe tout !


Comme tu l'as dit, le sujet est vaste, on fait le rapprochement sur des objets mathématiques qui sont des groupes et qu'on connaît depuis très longtemps ; du coup, on voit les choses autrement et c'est ça qui est intéressant !

En tout cas je commence à comprendre, merci beaucoup !

[invitebe0cd90e]

Tu abordes l'ordre d'un élément, et ça tombe bien car ça me fait penser que j'ai une dernière question à ce propos (désolé d'en poser autant ^^) :

Le forum est la pour ca

Si on a un élément a engendrant un sous-groupe <a>, on a deux cas possibles sur l'ordre de a :

- ord(a) est fini i.e. il existe un plus petit n>0 tel que a^n=e.
- ord(a) est infini (le cas des classes d'équivalence j'imagine).

J'aimerais savoir, l'ordre d'un élément n'est donc utile que pour un groupe avec une partie ne possédant qu'un seul élément (pour les groupes cycliques et tout ça) ? On ne s'amusera jamais à calculer l'ordre de tous les éléments d'une partie comprenant plusieurs éléments ?
Je sais pas si c'est très clair, mais au moins que je déballe tout !

Alors :
- Effectivement on a ces deux cas possibles. Par contre quand tu dis "le cas des classes d'équivalence", si je comprends bien ce a quoi tu fais references justement non. Par exemple 3+3=0 modulo 6.. Donc 3 est d'ordre 2 (donc fini).

L'ordre d'un élément est utile pour enormement de choses, pas seulement pour les sous groupes engendré. Disons qu'une definition possible de l'ordre d'un élément est :" le cardinal du sous groupe engendré par cet élément".

Effectivement, un groupe engendré par un seul élément est dit monogène, et si cet élément est d'ordre fini on dit que le groupe est cyclique. Mais apres on va aussi (c'est des axos classiques) bidouiller avec les ordres pour des groupes engendré par 2 elements par exemple. Il se passe des choses si le groupe est abelien, si les ordres sont premiers entre eux, etc, on peut arriver a trouver le cardinal (et meme plus) du sous groupe engendré.

Comme tu l'as dit, le sujet est vaste, on fait le rapprochement sur des objets mathématiques qui sont des groupes et qu'on connaît depuis très longtemps ; du coup, on voit les choses autrement et c'est ça qui est intéressan

J'en profites pour dire (parce que perso ca m'a pris du temps pour le realiser) que c'est important d'essayer de comprendre à travers les groupes la notion de structure algébrique, de facon un peu abstraite. Tu te rendras compte que tout ce que tu vas voir en algèbre fonctionne de la meme facon : tu as des ensembles qui ont une structure (une operation, ou 2, ou autre chose) et des applications qui respectent cette structure (les morphismes). A partir de la ce qu'on etudie c'est la structure abstraitement, cad qu'il faut vraiment comprendre ce que veux dire "a isomorphisme près" (tu y viendras). Il faut se convaincre que Z/4Z et le groupe engendré par la rotation d'angle Pi/2 c'est le MEME groupe, puisque la structure est la meme.

Desolé pour ce laius mais ca peut peut etre aider...

[invite2734a185]

Oui d'accord, merci beaucoup pour ces précisions !

Une dernière question histoire de s'assurer que j'ai compris :

Mettons que j'ai le groupe (G, +).
Prenons une partie de G composée de deux éléments a et b, {a, b}.

Du coup, les éléments composant <{a, b}> sont les différentes combinaisons que l'on peut réaliser entre a et b, à savoir :

a^n
b^n
(a+b)^n

Dans la mesure où le résultat de l'opération appartienne à G.

Est-ce juste ?


Après ce dernier point, ce devrait être bon ; merci d'avance !

[Médiat]

a^n
b^n
(a+b)^n

Attention, en écrivant aⁿ on peut supposer que tu notes ta loi de composition multiplicativement, la composition de a et b est donc ab et non a+b.
ce qui veut dire que les éléments de <a, b> sont tous les résultats des opérations (les n, m etc. sont des entiers relatifs)
aⁿ¹b^m1aⁿ²b^m2...a^nkb^mk où n1 et mk peuvent être nuls. Ensuite on peut utiliser les propriétés du groupe G :

1. si G est commutatif l'expression précédente peut s'écrire aⁿb^m
2. si a² = e (l'élément neutre), les exposants de a ne peuvent être que 0 ou 1 (a⁰ = e et a¹ = a
3. etc.
4. au pire le groupe est un groupe libre et tu obtiens tous les "mots" que l'on peut écrire avec 2 lettres et leurs inverses (c'est la définition du groupe libre à 2 générateurs)

Dans la mesure où le résultat de l'opération appartienne à G.

La question ne se pose pas puisque G est un groupe, donc la loi est interne

[invitebe0cd90e]

Oui, attention !! par convention dans un groupe a^n veut bien dire qu'on applique la loi du groue n fois ! donc si tu notes la loi +, a^n=a+a+a..+a aussi bizzare que ca puisse paraitre !!

Donc en général, on reserve la notation '+' aux groupes commutatifs (parce que la ca prend un sens particulier) et dans ce cas on note na et non a^n....

En général, on emploie plutot le point :.

[invite2734a185]

Ok, je vois ce que vous voulez dire !

C'est assez complexe cette histoire de groupe je trouve, ou alors c'est vraiment dû au fait que j'ai un esprit scientifique peu développé ^^' !


Quoi qu'il en soit, merci encore beaucoup pour vos réponses !

[invitebe0cd90e]

Ok, je vois ce que vous voulez dire !

C'est assez complexe cette histoire de groupe je trouve, ou alors c'est vraiment dû au fait que j'ai un esprit scientifique peu développé ^^' !


Quoi qu'il en soit, merci encore beaucoup pour vos réponses !

non non, la il y a juste une histoire de convention ! (Enfin il y a une raison profonde pour ecrire les groupes abeliens de cette maniere, mais bon...) Retiens juste que quand tu travailles avec des groupes il n'y a qu'une seule loi de composition.

[invite2734a185]

Bonjour à tous !

Je me permets de remonter mon sujet car je galère toujours autant sur les groupes et j'aurais encore un peu besoin de votre aide.

Alors voilà : je suis retombé sur un devoir (sur lequel ma note n'a pas volée haut d'ailleurs), et je m'aperçois que même aujourd'hui je me planterais royalement (le prof ne nous ayant pas fait de correction...).

Voici l'intitulé d'un exercice me posant problème :



Je ne veux pas donner l'air de quelqu'un qui pose des questions sans réfléchir, mais même en m'étant trituré la tête, rien ne sort. Je n'ai pas l'intuition des maths faut croire : même si j'y passe un minimum de temps, j'assimile les choses vues, mais à chaque nouveau problème je bloque ...

Donc voilà, ici dans le cas présent je vois mal le rapport entre ord(G) et ord(a), ce dernier étant bien Min{xEN/a^x=e} ?
Déjà, dans mon esprit, e est le plus petit élément alors que a^x ne fait que grandir... Je sais que ce n'est pas forcément le cas et qu'il faut pouvoir visualiser toutes sortes de lois et tout mais je n'arrive pas à réfléchir en terme de groupes sans considérer le groupe (Z, +).
Enfin voilà, dans ma conception étriquée des choses, a^x=e n'est possible que pour les groupes du type Z/nZ...

Et pour la deuxième question, je vois mal comment ce peut être vrai dans la mesure où, comme je l'ai dit, plus x est grand et plus on s'éloigne de e. Alors de là à considérer que combiné au cardinal de l'ensemble on tombe à chaque fois sur e ça me dépasse littéralement...


Bref, je suis bien paumé, et j'espère que vous saurez m'apporter un peu d'aide. Je vous remercie par avance en tout cas !

[invitec317278e]

Donc voilà, ici dans le cas présent je vois mal le rapport entre ord(G) et ord(a), ce dernier étant bien Min{xEN/a^x=e} ?

Il faut plutôt considérer

On peut dire 2 choses : sur ord(a) et org(G) : déjà, ord(a) ord(G), ensuite, l'ordre de a divise l'ordre de G (théorème de Lagrange).

Peut être que tu pourrais envisager le groupe des racines (complexes) n-ièmes de l'unité muni de la multiplication, tu verras peut être mieux comment on peut revenir au départ, puisque ça se voit sur un dessin.


Pour la question 2, servons-nous du Théorème de Lagrange :
n est divisible par ord(a), que je note p. Ainsi, il existe q tq n=pq

Ainsi, il faut montrer que .
Or comme p est l'ordre de a, , et comme , on a

Au fait, j'aimerais te demander : quelles études tu fais ?

[invite2734a185]

Merci beaucoup de ta réponse !

Pour ord(a) <= ord(G), je l'avais deviné, mais pour le théorème de Lagrange, je n'en avais jamais entendu parler... Donc forcément sans...
Je vais me renseigner sur ce théorème dans ce cas !

Merci beaucoup de m'avoir aidé en tout cas !


Sinon, je sors de DUT informatique et j'intègre une Licence 3, toujours en informatique, cette année. Il paraît que les mathématiques seront plus corsées donc c'est pourquoi j'ai préféré réviser un peu ...
Mais disons qu'à l'IUT on a eu un prof pas mal incompétent (sans vouloir l'enfoncer), du coup je suis un peu perdu (déjà que j'ai pas de facilités en maths à la base)...

[invitec317278e]

J'ai utilisé Lagrange par souci de rapidité, mais je pense qu'on peut faire sans.

Je réfléchis à une démo.

[invitec317278e]

Bon, il me semblait avoir eu en colle un résultat similaire à démontrer sans Lagrange, mais je dois me tromper, parce que je ne vois pas de solution "trouvable" sans redémontrer Lagrange.

[invite2734a185]

D'accord, de toutes façons, ne t'en fais pas j'ai compris le théorème de Lagrange. Il se trouve d'ailleurs que c'était l'objet d'une remarque minime dans mon cours, à croire que le prof pensait que ça n'avait pas d'importance alors que c'est bien utile on ne va pas se le cacher !

(et puis assez franchement je dirais que s'il avait posé un nom sur cette propriété, je l'aurais retenue plus facilement)

En tout cas, c'est à peu près clair maintenant !
Il y a juste une dernière chose qui me chiffonne :

Pourquoi a^(ord(a))=e ?
J'ai du mal à le visualiser ça !


Quoi qu'il en soit, merci beaucoup pour ta considération et ton aide !

[invitec317278e]

Pourquoi a^(ord(a))=e ?
J'ai du mal à le visualiser ça !

Donc forcément, , puisque l'ordre est le plus petit entier tel que cette égalité soit respectée

[invite2734a185]

Ah oui, c'est assez évident, désolé de la question idiote !
Et encore merci !