Distance point-courbe avec équation implicite

[invite6304ed36]

Bonjour a tous,

Ma question est la suivante :

Je travaille avec des courbes de Bézier quadratiques et je "connais" leur équation implicite. Pour être précis je sais comment savoir si un point de coordonnées (x,y) est à gauche ou à droite de ma courbe (ou dessus) avec l'équation implicite (ou du moins son résultat) et j'aimerais savoir comment connaitre la distance précise entre mon point et ma courbe à partir de ce résultat ou de l'équation implicite.

Est-ce possible ? Y a-t-il une normalisation de la distance comme entre une droite et un point qui existe? Le gradient est-il une solution ? y at-il mieux tout en restant simple.

En espérant avoir été clair dans ma formulation, j'attends vos réponses.

Merci
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[invitea3eb043e]

Dire qu'un point est à droite ou à gauche n'a de sens que dans le plan, et encore ! Par exemple peut-on dire qu'un point est à droite ou à gauche d'un cercle ?
La distance, on voit déjà mieux. Si M est le point courant de l'arc de courbe AB, alors on peut calculer le carré de la distance MP à partir des coordonnées P(u) et Q(u) du point M (les polynômes de Bézier).
La distance² est le minimum de MP² quand u varie (ça peut se passer à l'un des 2 bouts).
On peut assez facilement démontrer qu'alors la tangente est perpendiculaire à MP.

[invite6304ed36]

Merci pour ta réponse,

Il s'agit bien de travailler dans le plan. Désolé pour mes oublis, je ne suis pas mathématicien. Par contre, je en veux pas utiliser les équations paramétriques et je ne connais pas de points sur la courbe. La seule information que j'ai c'est l'équation implicite de la courbe et les coordonnées des points du plan que je teste pour savoir s'ils sont sur la courbe ou non. Et j'aimerais trouver l'information de distance avec ça. Merci

[invite5a251c63]

Je pense que tu parles d'équation paramétrique non ?

C'est à dire y=f(t) et x = g(t)

Donc pour la distance, jean paul a raison.

" La distance² est le minimum de MP² quand u varie (ça peut se passer à l'un des 2 bouts).
On peut assez facilement démontrer qu'alors la tangente est perpendiculaire à MP. "

Les deux problèmes sont équivalents et se ramènent à la factorisation des polynomes qui n'est pas un problème évident mais tu peux peut etre utiliser des solveurs.

Une fois que tu as le point qui minimise la distance, le signe du produit scalaire avec la tangente te donne de quel côté se trouve le point.

[A voir en vidéo sur Futura]