Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 12 sur 12

Formalisme de la limite



  1. #1
    Ln(3)

    Formalisme de la limite


    ------

    Bonjour à tous,
    Même si le concept de limite est introduit au lycée, je poste ce message ici car je recherche des réponses formelles :

    Quel est l'objet mathématique ?

    Prenons par exemple, soit f une fonction à valeurs réelles possédant une limite finie en a. Par exemple 0.

    Est-ce que est bien le nombre 0 ?

    Est-ce que l'opérateur = présent dans est le même opérateur que celui utilisé pour dire 0 = 0 ?

    Merci de votre réponse.

    -----

  2. Publicité
  3. 📣 Nouveau projet éditorial de Futura
    🔥🧠 Le Mag Futura est lancé, découvrez notre 1er magazine papier

    Une belle revue de plus de 200 pages et 4 dossiers scientifiques pour tout comprendre à la science qui fera le futur. Nous avons besoin de vous 🙏 pour nous aider à le lancer...

    👉 Je découvre le projet

    Quatre questions à explorer en 2022 :
    → Quels mystères nous cache encore la Lune 🌙 ?
    → Pourra-t-on bientôt tout guérir grâce aux gènes 👩‍⚕️?
    → Comment nourrir le monde sans le détruire 🌍 ?
    → L’intelligence artificielle peut-elle devenir vraiment intelligente 🤖 ?
  4. #2
    Médiat

    Re : Formalisme de la limite

    Citation Envoyé par Ln(3) Voir le message
    Est-ce que l'opérateur = présent dans est le même opérateur que celui utilisé pour dire 0 = 0 ?
    = n'est pas un opérateur, mais un symbole de relation, et oui, c'est bien le même que pour dire 0 = 0 ; quand la variable tend vers un nombre réel et que la limite existe et est finie, car dans les autres cas il faut être plus prudent.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #3
    Ln(3)

    Re : Formalisme de la limite

    Merci pour votre réponse.

    La suite logique est donc d'envisager le cas de l'infini.

    quand la variable tend vers un nombre réel
    Je pense que a soit réel ou infini, cela ne changera pas grand chose à la relation =. Si ?

    En ce qui concerne les limites infinies.



    La relation = continue-t'elle d'être une véritable relation ou une simple notation ?

    Est-ce que a un sens mathématique ? Si oui, le + est-il un opérateur et le même que 5+5 ?

    Oui, je sais, beaucoup de questions, mais j'aime avoir les idées claires et souvent des approximations sont faites afin de garder un côté intuitif.

  6. #4
    Ln(3)

    Re : Formalisme de la limite

    Au passage, j'ajoute quelques égalités qui vont probablement vous faire sauter au plafond et qui concernent la forme indéterminée . J'aimerais que vous me disiez où se situent mes erreurs.

    Sachant que



    Et que



    Alors si f tend vers l'infini et g tend vers 0





    C'est faux, mais pourquoi ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Thorin

    Re : Formalisme de la limite

    Citation Envoyé par Ln(3) Voir le message
    Sachant que



    Et que

    Justement, ces 2 égalités sont fausses dans certains cas.

  9. #6
    Ln(3)

    Re : Formalisme de la limite

    Effectivement, en prenant et , alors



    Comment justifier que cette relation soit vraie dans certains cas et non d'autres ? Sa justification doit probablement se trouver dans sa démonstration, mais cette relation semble tellement intuitive que je n'ai pu trouver sa démonstration dans aucun des cours trouvés sur internet, lesquels la considéraient tous comme admise.

    Est-ce que sa démonstration fait intervenir des notions mathématiques qui ne sont abordées que bien plus tard ? ( J'entre en L2 )

  10. Publicité
  11. #7
    Thorin

    Re : Formalisme de la limite

    Bah c'est juste qu'il faut comprendre que dans le cas général, 0*infini, on ne sait pas ce que ça donne.
    Dans les autres cas, on arrive à démontrer, mais dans ce cas là, on n'arrive pas à démontrer l'égalité, c'est tout.

  12. #8
    invité576543
    Invité

    Re : Formalisme de la limite

    Citation Envoyé par Ln(3) Voir le message
    La suite logique est donc d'envisager le cas de l'infini.

    Je pense que a soit réel ou infini, cela ne changera pas grand chose à la relation =. Si ?
    Si!

    En ce qui concerne les limites infinies.



    La relation = continue-t'elle d'être une véritable relation ou une simple notation ?
    C'est une véritable relation, mais dans un ensemble qui n'est pas celui des réels.

    Est-ce que a un sens mathématique ? Si oui, le + est-il un opérateur et le même que 5+5 ?
    Ca devient beaucoup plus compliqué!

    La notion de limite est d'abord topologique. La topologie est une partie des mathématiques qui s'occupe de la notion de voisinage, de qu'est-ce qui est "proche de" quelque chose. La continuité est une notion topologique, et la notion de limite aussi. On peut s'occuper de limites dans bien autre chose que R.

    Pour parler de limite infinie, il suffit de se mettre dans un ensemble un peu plus gros que R, à savoir R étendu, typiquement par 2 valeurs, plus et moins l'infini. un tel ensemble se munit d'une topologie naturelle, et on peut y parler de limites, ou d'égalité.

    Mais voilà, ce n'est plus R, et parler d'addition et de multiplication devient quelque peu difficile. On peut faire des extensions de ces opérations, mais ça n'a pas toutes les bonnes propriétés qu'on aimerait. (En particulier pas toutes celles dont on a pris l'habitude en manipulant les réels...)

    En bref, ce qu'il faut réaliser est que R en tant qu'espace topologique (continuité, limites) et R en tant que corps (addition, multiplication) sont des aspects assez distincts. Les mélanger ne donne pas des choses simples.

    Cordialement,

  13. #9
    Médiat

    Re : Formalisme de la limite

    Je suis parfaitement d'accord avec Michel (mmy) (d'où les précautions liminaires de mon premier message), en particulier avec la remarque finale

    Je veux juste préciser quelques points :
    1. Si l'on adopte le point de vue topologique (qui est le bon pour parler de limite), on s'aperçoit très vite que l'usage du symbole dans l'écriture de limites est un pur aspect notationnel, la définition de ces limites ne faisant pas intervenir ce symbole (et donc l'expression peut difficilement être égale à quoi que ce soit, car elle n'a tout simplement pas de sens dans , mais, comme l'indique Michel, on peut étendre cet ensemble à d'autres espaces topologiques, et celui qu'il cite en particulier).
    2. Si on adopte le point de vue algébriste, alors il faut, effectivement, étendre , et travailler dans un ensemble généralement noté , et étendre la définition des opérations usuelles, par exemple etc. Par contre, si on adopte ce point de vue, l'expression "forme indéterminée" (et l'on sait que le but du jeu est de "lever l'indétermination") ne fait pas sens, il vaudrait mieux parler de produit ou de somme non définie (ce qui est définitif), c'est à dire que l'addition et la multiplication ne sont plus des applications dans ce nouvel ensemble.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #10
    Ln(3)

    Re : Formalisme de la limite

    Il y a donc bien associé aux concepts de limites des finesses qui ne sont pas mises en relief lors de leur introduction.

    Effectivement, l'aspect topologique semble plus adapté et c'est celui auquel mes cours faisaient implicitement référence.

    Merci beaucoup pour toutes vos réponses.

  15. #11
    GrisBleu

    Re : Formalisme de la limite

    Salut

    en meme temps, on peut se passer de ces considerations (R ou R bar) si on ne pose pas les relations
    - limite de sommes = somme des limites
    - produit de limites = limite des produits
    -etc.
    Des que l'infinis va apparaitre, ces relations deviennent en general fausse ou sans sens. Mieux vaut les oublier

    A la rigueur, ces formules sont "plus vraies" lorsqu on aborde les equivalents (attention quand meme pour la somme !)

    a+

  16. #12
    Thorin

    Re : Formalisme de la limite

    Pourquoi parles tu de "poser" ces relations ?

  17. Publicité

Discussions similaires

  1. formalisme quantique base continue
    Par mounirps3 dans le forum Physique
    Réponses: 7
    Dernier message: 26/06/2008, 19h24
  2. Mécanique quantique (formalisme mathematique)
    Par futur_p dans le forum Physique
    Réponses: 2
    Dernier message: 15/01/2008, 20h48
  3. formalisme holomorphe
    Par GrisBleu dans le forum Physique
    Réponses: 4
    Dernier message: 21/09/2007, 08h48
  4. Formalisme
    Par MagicienX11 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 12/02/2005, 22h12
  5. Formalisme Lagrangien:au secours!!
    Par L'entropathe fou dans le forum Physique
    Réponses: 9
    Dernier message: 19/11/2004, 15h54