Bonjour à tous,
Même si le concept de limite est introduit au lycée, je poste ce message ici car je recherche des réponses formelles :
Quel est l'objet mathématique?
Prenons par exemple, soit f une fonction à valeurs réelles possédant une limite finie en a. Par exemple 0.
Est-ce que
Est-ce que l'opérateur = présent dans
Merci de votre réponse.
= n'est pas un opérateur, mais un symbole de relation, et oui, c'est bien le même que pour dire 0 = 0 ; quand la variable tend vers un nombre réel et que la limite existe et est finie, car dans les autres cas il faut être plus prudent.Envoyé par Ln(3)
Est-ce que l'opérateur = présent dans
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci pour votre réponse.
La suite logique est donc d'envisager le cas de l'infini.
Je pense que a soit réel ou infini, cela ne changera pas grand chose à la relation =. Si ?quand la variable tend vers un nombre réel
En ce qui concerne les limites infinies.
La relation = continue-t'elle d'être une véritable relation ou une simple notation ?
Est-ce que
Oui, je sais, beaucoup de questions, mais j'aime avoir les idées claires et souvent des approximations sont faites afin de garder un côté intuitif.
Au passage, j'ajoute quelques égalités qui vont probablement vous faire sauter au plafond et qui concernent la forme indéterminée
Sachant que
Et que
Alors si f tend vers l'infini et g tend vers 0
C'est faux, mais pourquoi ?
Justement, ces 2 égalités sont fausses dans certains cas.Sachant que
Et que
Effectivement, en prenant
Comment justifier que cette relation soit vraie dans certains cas et non d'autres ? Sa justification doit probablement se trouver dans sa démonstration, mais cette relation semble tellement intuitive que je n'ai pu trouver sa démonstration dans aucun des cours trouvés sur internet, lesquels la considéraient tous comme admise.
Est-ce que sa démonstration fait intervenir des notions mathématiques qui ne sont abordées que bien plus tard ? ( J'entre en L2 )
Bah c'est juste qu'il faut comprendre que dans le cas général, 0*infini, on ne sait pas ce que ça donne.
Dans les autres cas, on arrive à démontrer, mais dans ce cas là, on n'arrive pas à démontrer l'égalité, c'est tout.
Si!
C'est une véritable relation, mais dans un ensemble qui n'est pas celui des réels.En ce qui concerne les limites infinies.
La relation = continue-t'elle d'être une véritable relation ou une simple notation ?
Ca devient beaucoup plus compliqué!Est-ce que
La notion de limite est d'abord topologique. La topologie est une partie des mathématiques qui s'occupe de la notion de voisinage, de qu'est-ce qui est "proche de" quelque chose. La continuité est une notion topologique, et la notion de limite aussi. On peut s'occuper de limites dans bien autre chose que R.
Pour parler de limite infinie, il suffit de se mettre dans un ensemble un peu plus gros que R, à savoir R étendu, typiquement par 2 valeurs, plus et moins l'infini. un tel ensemble se munit d'une topologie naturelle, et on peut y parler de limites, ou d'égalité.
Mais voilà, ce n'est plus R, et parler d'addition et de multiplication devient quelque peu difficile. On peut faire des extensions de ces opérations, mais ça n'a pas toutes les bonnes propriétés qu'on aimerait. (En particulier pas toutes celles dont on a pris l'habitude en manipulant les réels...)
En bref, ce qu'il faut réaliser est que R en tant qu'espace topologique (continuité, limites) et R en tant que corps (addition, multiplication) sont des aspects assez distincts. Les mélanger ne donne pas des choses simples.
Cordialement,
Je suis parfaitement d'accord avec Michel (mmy) (d'où les précautions liminaires de mon premier message), en particulier avec la remarque finale
Je veux juste préciser quelques points :
- Si l'on adopte le point de vue topologique (qui est le bon pour parler de limite), on s'aperçoit très vite que l'usage du symbole
- Si on adopte le point de vue algébriste, alors il faut, effectivement, étendre
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Il y a donc bien associé aux concepts de limites des finesses qui ne sont pas mises en relief lors de leur introduction.
Effectivement, l'aspect topologique semble plus adapté et c'est celui auquel mes cours faisaient implicitement référence.
Merci beaucoup pour toutes vos réponses.
Salut
en meme temps, on peut se passer de ces considerations (R ou R bar) si on ne pose pas les relations
- limite de sommes = somme des limites
- produit de limites = limite des produits
-etc.
Des que l'infinis va apparaitre, ces relations deviennent en general fausse ou sans sens. Mieux vaut les oublier
A la rigueur, ces formules sont "plus vraies" lorsqu on aborde les equivalents (attention quand meme pour la somme !)
a+
Pourquoi parles tu de "poser" ces relations ?
