Notion de tenseur (produit tensoriel)

[invite6754323456711]

Bonjour,

je débute dans la compréhension de la notion de tenseur et pour cela je suis en cours de lire l'ouvrage préconisé par wikipédia (intoduction au calcul tensoriel; application à la physique de Claude Semay et Bernard Silvestre-Brac).

Je dispose tout de même de base en ce qui concerne les espaces vectoriels, formes lineaires et espaces duals.

Ma question concerne la définition de tenseur (d'ordre 2) faite dans l'ouvrage à partir du produit tensoriel de deux espaces vectoriel.

Un élément quelconque t de l'espace produit tensoriel U_m (Espace vectoriel de dimension m) et V_n (espace vectoriel de dimension n) s'appelle un tenseur d'ordre 2 ; sur une base a_ij = e_i produit_tensoriel f_j, ses composantes t^ij sont dites 2 fois contravariantes .. t = t^ij a_ij

Pourquoi pas. Mais les auteurs, aprés avoir défini un tenseur comme un élément quelconque de l'espace produit tensoriel de deux espaces vectoriels, font une remarque qui m'interpelle :

Un point crucial à remarquer est qu'un tenseur quelconque n'est pas, en général, le produit tensoriel de deux vecteurs.

L'espace produit tensoriel U_m produit_tensoriel V_n contient des tenseurs qui ne sont pas le produit tensoriel d'un vetcteur de U_m et d'un vecteur de V_n ? Pourquoi ?

C'est quoi alors un tenseur ?

Merci
Patrick
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[invite14e03d2a]

Par définition du produit tensoriel , où E et F sont des espaces vectoriels, on sait que les tenseurs élémentaires, ie de la forme engendrent .

Cela signifie qu'un tenseur quelconque est combinaison linéaire finie de tenseurs élémentaires (mieux, un tenseur est une somme de tenseurs élémentaires).

[invite6754323456711]

Par définition du produit tensoriel , où E et F sont des espaces vectoriels, on sait que les tenseurs élémentaires, ie de la forme engendrent .

Cela signifie qu'un tenseur quelconque est combinaison linéaire finie de tenseurs élémentaires (mieux, un tenseur est une somme de tenseurs élémentaires).

Merci pour votre réponse. Mais pourquoi un tenseur est plus qu'un simple produit tensoriel entre deux vecteurs.

si et si
en développant on obtient donc composantes du tenseurs peuvent être différentes de ???

avec

Patrick

[invite6754323456711]

Merci pour votre réponse. Mais pourquoi un tenseur est plus qu'un simple produit tensoriel entre deux vecteurs.

si et si
en développant on obtient donc composantes du tenseurs peuvent être différentes de ???

avec

Patrick

Une precision : il est donné comme exemple le cas m=n=2. Pour avoir cela impose de résoudre un système de mn équations à m + n inconnues.

Donc on doit résoudre t¹¹ = u¹v¹ , t¹² = u¹v², t²¹ = u²v¹ , t²² = u²v²

ce qui implique v¹/v² = t¹¹/t¹² = t²¹/t²²

Pour un jeu quelconque des t^ij, il n'y a aucune raison pour que la dernière égalité soit satisfaite.

Patrick

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite14e03d2a]

Ton dernier post montre que certains tenseurs ne sont pas des tenseurs élémentaires (ie ne s'écrivent pas sous la forme ).

Les tenseurs élémentaires engendrent le produit vectoriel mais tout tenseur n'est pas un tenseur élémentaire.

[invite6754323456711]

Ton dernier post montre que certains tenseurs ne sont pas des tenseurs élémentaires (ie ne s'écrivent pas sous la forme ).

Les tenseurs élémentaires engendrent le produit vectoriel mais tout tenseur n'est pas un tenseur élémentaire.

Si je comprend bien les tenseurs élémentaires forme un sous-ensemble de qui verifie l'équation

Un tenseur quelconque est un élément de mais pas forcement un élément du sous ensemble S = avec

Patrick

[invite14e03d2a]

Formellement, on considère deux espaces vectoriel E et F de dimensions finies et on voudrait construire un espace de dimension dim(E)dim(F) qui vérifie de "bonnes" propriétés.

Un théorème nous dit qu'il existe un unique espace vectoriel (à isomorphisme près) noté et appelé produit tensoriel de E et F et une application i de vérifiant:
1) L'ensemble est une partie génératrice de
2) pour tout espace vectoriel V et toute application bilinéaire , il existe une unique application linéaire telle que . (C'est la propriété universelle du produit tensoriel)

Si , on note le vecteur i(u,v). Un vecteur de cette forme est appelé tenseur élémentaire, un vecteur quelconque de est appelé tenseur.

[GrisBleu]

Salut u100fil

Je poste ce commentaire en relation avec ta localisation.
Si tu as deux systemes quantiques decrit par deux vecteurs u et v, le systeme global est decrit par . Si le systeme est en interaction, il peut evoluer vers
- des etats purs, cad qui sont de la forme
- des etats intriques, cad qui ne sont pas de la forme precedentes.

Par exemple, prend un systeme A a 2 etats (0 et 1) et un systeme B a deux etats (h et b). Si le systeme global evolue vers

c est un etat intrique

De tels etats ont trois consequences:
- Ni A ni B ne sont dans un etats definis. Par exemple A n est ni 1 ni 0 ni une combinaison lineaire des 2 car ca ne donnera pas la forme voulue
- Une mesure de A ou de B est totalement aleatoire: 50% de trouver A dans l etat 0 et 50% dans l etat 1
- La mesure de A et de B est totalement liee: si je mesure A comme 0 alors b est dans l etat h
C est la base des experiences EPR et de l information quantique. Donc la notion que tu travaille est vraiment importante

++

[invite6754323456711]

Bonjour,

Merci à tous les deux pour vos précisions.

Donc S est une partie génératice de mais n'est pas pour autant un sous espace vectoriel de l'espace produit . Ils existe donc bien des éléments de l'espaces produits qui ne sont pas des produits tensoriels de vecteurs.

pour tout espace vectoriel V et toute application bilinéaire , il existe une unique application linéaire telle que

Pourquoi R dans ?

plutôt ?


Donc S reptrésente bien l'ensemble des tenseurs élémentaires ?

Quel est l'intèrêt / l'avantage d'une telle définition


Merci
Patrick

[invité576543]

Quel est l'intèrêt / l'avantage d'une telle définition

Transformer la bilinéarité en linéarité. Ce qui permet toute l'artillerie des espaces vectoriels, changement de bases, décomposition en valeurs propres, etc.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Transformer la bilinéarité en linéarité. Ce qui permet toute l'artillerie des espaces vectoriels, changement de bases, décomposition en valeurs propres, etc.

Cordialement,

Mais reste toujours bilineaire tout comme i. Seule la forme
est lineaire.


Ces fonctions sont elles des isomorphismes ?

Merci
patrick

[invité576543]

Mais reste toujours bilineaire tout comme i. Seule la forme
est lineaire.

Oui, mais la bilinéarité est la donnée, si tu veux. est ce qu'on veut étudier, ce sur quoi on a de bons outils d'étude, et i le moyen de lier l'un à l'autre.

Ces fonctions sont elles des isomorphismes ?

Non. Ce ne sont pas nécessairement des bijections.

Le fait que i soit une injection est directement lié à ta question de base : il y a des éléments du produit tensoriel qui ne sont pas l'image par i d'un quelconque couple de ExF.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Oui, mais la bilinéarité est la donnée, si tu veux. est ce qu'on veut étudier, ce sur quoi on a de bons outils d'étude, et i le moyen de lier l'un à l'autre.



Non. Ce ne sont pas nécessairement des bijections.

Le fait que i soit une injection est directement lié à ta question de base : il y a des éléments du produit tensoriel qui ne sont pas l'image par i d'un quelconque couple de ExF.

Ok merci cela devient pour moi de plus en plus clair. Tout élément de l'espace produit tensoriel est la somme d'éléments de S.

L'espace produit tensoriel dont les éléments sont des tenseurs est aussi un espace vectoriel ayant pour base


Patrick

[invité576543]

L'espace produit tensoriel dont les éléments sont des tenseurs est aussi un espace vectoriel ayant pour base

Oui... Mais je rajouterais "entre autres". L'existence d'autres bases que celle-là est un des grands intérêts de l'approche tensorielle. Faut assez vite "quitter" la vue étroite que donne cette base-là...

Cordialement,

[invite14e03d2a]

Pourquoi R dans ?

plutôt ?

Oui, c'est une faute de frappe. Désolé. Et j'ai aussi oublié d'écrire que i est bilinéaire

La propriété universelle du produit tensoriel permet notamment de montrer que (en fait, il existe un isomorphisme très simple entre les deux espaces et du coup on les identifie)
Cette propriété universelle intervient dans la plupart des démonstrations concernant le produit tensoriel.

[invite6754323456711]

Oui... Mais je rajouterais "entre autres". L'existence d'autres bases que celle-là est un des grands intérêts de l'approche tensorielle. Faut assez vite "quitter" la vue étroite que donne cette base-là...

Cordialement,

Aurais-tu un exemple de base dans le cadre des tenseurs d'ordre 2 ?

On peut intéresser qu'a un seul espace vectoriel et son espace dual.

Tenseurs 2 fois contravaraints (ex de base base a_ij)
Tenseurs 2 fois covariants (ex de base )
Tenseurs mixtes (ex de base ou )

Merci
Patrick

[invité576543]

Aurais-tu un exemple de base dans le cadre des tenseurs d'ordre 2

Une base alternative ultraclassique est la décomposition symétrique/antisymétrique dans le cas d'un produit tensoriel entre deux e.v. identiques de dimension n, la base composée des n(n+1)/2 et les n(n-1)/2

Cordialement,

[invite6754323456711]

Une base alternative ultraclassique est la décomposition symétrique/antisymétrique dans le cas d'un produit tensoriel entre deux e.v. identiques de dimension n, la base composée des n(n+1)/2 et les n(n-1)/2

Cordialement,

Cela traduit-il la propriété que tout tenseurs 2 fois contravariants (resp 2 fois covariants) est la somme directe du sous-espace des tenseurs symétriques et du sous-espace des tenseurs antisymétriques (ce qui n'est pas le cas pour les tenseurs mixtes) ?

Merci
Patrick

[invité576543]

(...)

Ca implique la propriété que tout élément du produit tensoriel de deux espaces identiques est la somme d'un tenseur symétrique et d'un tenseur antisymétrique. Et ça implique que le produit tensoriel de deux espaces identiques est isomorphe à la somme directe de son sous-espace des tenseurs symétriques et de son sous-espace des tenseurs asymétriques.

L'espace des tenseurs (1,1) n'est pas le produit tensoriel de deux espaces identiques. (Mais si c'est le produit tensoriel de deux espaces isomorphes, le choix d'un isomorphisme permet alors quelque chose d'équivalent, tout en gardant en tête que le choix de l'isomorphisme est arbitraire).

Cordialement,