[M1 Représentations des groupes finis] Représentation régulière, caractères...

[invitebb921944]

Bonjour,
Je bloque sur un exo qui me paraissait au premier abord plutôt simple...

Voici l'énoncé :
Soit un groupe fini.
Soit une représentation de telle que pour un entier . Montrer .

Je pars en utilisant les caractères et je tente de montrer que mais je n'y arrive pas (j'ai décomposé en somme d'irréductibles mais ça ne donne rien).
J'ai essayé de démontrer en utilisant a peu près toutes les relations de mon cours mais rien n'y fait...

Si quelqu'un avait une piste...
Merci.
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[invite88856472]

Bonjour, je crois avoir trouvé une solution, dis moi ce que tu en penses :

R étant la représentation régulière, elle contient toutes les représentations irréductibles W de G avec multiplicité dim W. En particulier elle contient la représentation triviale T avec multiplicité 1. Comme deux représentations isomorphes ont des caractères égaux :


Or : est entier car T est irréductible
Donc : n | 1, d'où : n = 1.

idest

[invitebb921944]

Ca m'a l'air tout à fait juste. Belle astuce, merci beaucoup.
Je pense pouvoir répondre à la deuxième question (la même avec le produit tensoriel au lieu de la somme directe) en utilisant une astuce similaire.
Merci encore.