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[MPSI] Problème d'arithmétique...



  1. #1
    supernico999

    [MPSI] Problème d'arithmétique...


    ------

    Salut tout le monde
    Voilà je bloque sur un exo d'arithmétique:

    On veut montrer qu'il existe un unique entier tel que :

    (le coup du 77...77 (k fois), c'est en fait 7*(1+10+...+10^(k-1)) )

    On suppose que l'on connait pour k€N*, et je dois montrer qu'il existe tel que :

    (en utilisant des congruences modulo 10^k)

    Voilà je n'y arrive pas du tout Je ne comprends pas comment il faut partir... Est ce que quelqu'un peut m'indiquer une piste ?

    Merci beaucoup

    -----

  2. #2
    shokin

    Re : [MPSI] Problème d'arithmétique...

    En fait, tu veux démontrer que :

    Il existe un et un seul Xk dans [(1/10)^k;1] (je ne suis pas sûr d'avoir bien compris ton intervalle) pour tout k élément de N tel que :

    (Xk)^3 C 7*(10^k-1)(10-1) mod 10^k

    Ce que je peux te dire, c'est qu'il n'y a qu'un nombre entier de 0 à 9 (en base 10) qui, élevé à la puissance 3, donne un nombre qui se termine par 7, à savoir le 3 (par exemple 3^3=27).

    [A démontrer]

    Je me demande si tu peux faire par récurrence, démontrer que c'est valable pour k=0 et (si c'est valable pour m entier naturel, alors c'est valable pour m+1). Mais ça doit pas être le plus simple non plus.

    Pour t'aider (peut-être) : avec a, b, c, k entiers naturels

    si aCb mod n alors a^kCb^k mod n^k
    si aCb mod n alors aCb mod n^k
    si aCb mod m alors acCbc mod mc
    si aCb mod m alors aCb mod mc

    Soit Xk C 7*(10^k-1)/(10-1) mod 10k
    alors 9Xk C 7*(10^k-1) mod 10k

    Si aCb mod c*d (a, b, c, entiers naturels)
    alors : aCb mod c et aCb mod d.

    Donc 9Xk C 7*(10^k-1) mod 2 (donc Xk est impair)
    et 9Xk C 7*(10^k-1) mod 5 (donc Xk se termine par 7 en base 10)
    et 9Xk C 7*(10^k-1) mod k (donc ... ?)

    ...

    J'ai juste donné des pistes, mais je ne suis pas sûr de t'aider à arriver à destination.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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