Une fonction, plusieurs primitives

[Bleyblue]

Bonjour,

Soit à calculer la primitive :


Deux méthodes permettent d'y parvenire :

1)Décomposer en fractions simples : 5x² + 4x -1 se factorise en :
(5x - 1)(x + 1)

Et donc :



2)Transformer la fonction de départ en une fonctions du type :


J'ai essayé les 2 méthodes. Pour la 1ère je tombe sur :



Tandis que pour la seconde je tombe sur :


C'est curieux non ? Les deux solutions semblent bonnes (j'ai vérifié), pourant elles sont différentes, et pas uniquement à cause d'un constante additive ...

Donc une même fonction peut avoir plusieurs primitives totalements différentes ?

Merci
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[invite58081e51]

elles sont egales car si tu fais sortir le 5 qui est en facteur au denominateur et tu inverse le numerateur tu peux faire sortir un reel que tu ajoute a la constante

[Coincoin]

Salut,
Le truc, c'est qu'elles ne sont pas définis sur le même ensemble. Ta primitive est (à une constante additive près), la "réunion" de ces deux fonctions.

[Bleyblue]

elles sont egales car si tu fais sortir le 5 qui est en facteur au denominateur et tu inverse le numerateur tu peux faire sortir un reel que tu ajoute a la constante

Mais si j'inverse le dénominateur, je modifie la fonction non ?

Ta primitive est (à une constante additive près), la "réunion" de ces deux fonctions.

Oula ...
Donc, si je veux utiliser cette primitive pour calculer une aire par exemple, je doit tenire compte des 2 réponses ?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Coincoin]

Ce que je veux dire, c'est que si on appelle F₁ ta première fonction et F₂ la deuxième, et si tu regardes les ensembles de définition, alors tu vois que F₁ est définie sur ]-inf; -1[U]1/5;+inf[ alors que F₂ est définie sur ]-1;1/5[. Ta primitive F sur tout R s'écrit donc comme F(x)=F₁(x) si x€]-inf; -1[U]1/5;+inf[ et F(x)=F₂ si x€ ]-1;1/5[.

[Bleyblue]

Ah oui ok, c'est plus clair alors, merci

[Quinto]

Tu peus sortir le 5 au dénominateur dans ta racine, ainsi tu as du ln(qqchose /racine de 5) et tu peux donc voir que c'est ln(qqchose)-ln(racine5) et ln(racine5) c'est une constante.

Donc en fait c'est de la meme forme...

[Bleyblue]

Ah oui, mais moi en transformant je tombe quand même sur :


Et il y a toujours une diffèrence de signe au numérateur

Merci

[BioBen]

Euh, non, je pense que tu te trompes :





a+
ben

[BioBen]

U see ?
PS: si on peut m'aider sur le fil "Equation différentielle" et "Démonstration de Taylor Lagrange" juste à coté de clui ci, ca serait sympa ...

[invite51f4efbf]

Ah oui ok, c'est plus clair alors, merci

Plus précisément, deux primitives à une fonction données coincident nécessairement à une constante près à condition qu'elles soient définies sur un même ouvert connexe.

[Quinto]

La connexité est justement ce qui fait tout.
Il existe un exemple très connu avec les arctangentes, mais je ne m'en souviens plus. Lorsqu'on dérivait sur R+ et sur R- ou trouvait 0, mais en fait sur chacun des intervalles c'était Pi/4 et -Pi/4.
Je crois qu'il s'agit de arctan(x)+arctan(1/x)=f(x)
si on dérive f la ou c'est possible, on trouve toujours 0 ...

[Bleyblue]

Daccord, merci beaucoup, j'ai dut faire une erreur en transformant

PS: si on peut m'aider sur le fil "Equation différentielle" et "Démonstration de Taylor Lagrange" juste à coté de clui ci, ca serait sympa ...

Je vais essayer promis, même si à mon avis je ne serais pas d'une grande aide ...

[BioBen]

C'est bon, plus besoin de m'aider, l'exam est dans 3 heures à peine ...enfin merci quand même
a+
beb

[Jeanpaul]

Pour Quinto : le contre-exemple, c'est :
f(x) = Argth(x) + Argth(1/x).
Comme Argth(x) n'est défini qu'entre -1 et +1 et que Argth(1/x) est défini partout sauf entre -1 et +1, on trouve une fonction f(x) qui n'est définie nulle part mais quand on la dérive bêtement, on trouve 0.

[Bleyblue]

Tout mes voeux de réussites BioBen