Quotient de deux séries

[Bleyblue]

Bonjour,

Je cherche à évaluer le quotient (pour p > 1) :



il doit y avoir une astuce mais je ne vois pas laquelle, j'ai essayé de retourner cette expression dans tous les sens ça ne me donne rien.

J'ai tout au plus pu prouver que ça convergait bien vers un réel > 1 (propriétés des séries de riemann) mais sans plus.

Une idée ?

merci
-----

[Médiat]

Une idée ?

Il me semble que le numérateur peut s'écrire :
ou encore


et qu'en divisant par le dénominateur tout se simplifie ...

[Bleyblue]

Eh oui.

Joli l'astuce, dommage que je n'y sois pas parvenu tout seul.

merci

[Bleyblue]

Tiens si quelqu'un a envie de s'amuser voilà une jolie :

Calculer la somme de la série :



Il y a une astuce assez "comique"

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

utiliser l'un des développements en série de l'arc tangente et inverser l'ordre des sommations? autrement je ne vois pas...

[Médiat]

d'où

La suite est triviale

[inviteaf1870ed]

Je suggère de regarder la formule (39) de cette page :
http://mathworld.wolfram.com/InverseTangent.html
avec q=1 ....

[Bleyblue]

Oui, moi j'ai fait comme médiat (mais média en fait c'est de la triche car tu es un vieux qui connais tout et tu ne laisses aucune chance aux jeunes )

[invite1237a629]

Oui, moi j'ai fait comme médiat (mais média en fait c'est de la triche car tu es un vieux qui connais tout et tu ne laisses aucune chance aux jeunes )

Roooh, on ne traite pas les gens de vieux !

Quelqu'un a une démonstration de cette formule ? (juste par où commencer)

[Bleyblue]

Une autre :

Soient des nombres premiers distincts ()

Calculer la somme de la série dont les termes sont les inverses des nombres n'ayant que (au plus) comme facteurs premiers.

(je ne sais pas si mon énoncé est clair, il faut donc calculer la somme de la série :



avec

)

[Médiat]

Roooh, on ne traite pas les gens de vieux !

D'ailleurs je ne suis pas vieux, mais seulement expérimenté

Quelqu'un a une démonstration de cette formule ? (juste par où commencer)

La formule c'est celle de l'arctg d'une somme.

[invite1237a629]

D'ailleurs je ne suis pas vieux, mais seulement expérimenté

La formule c'est celle de l'arctg d'une somme.

Yes ! Je vois
C'est difficile de se remémorer certaines choses dis donc ^^

Merci encore

[Bleyblue]

Roooh, on ne traite pas les gens de vieux !

Quelqu'un a une démonstration de cette formule ? (juste par où commencer)

Bah quand je dis "vieux" ça veut dire un peu plus de 20 ans quoi

Sinon pour la formule de l'artg c'est simplement :



qui se démontre simplement en supposant que le membre de gauche appartient à -pi/2, pi/2 (sinon ça ne marche pas) et en prenant la tangeante de ce membre.

EDIT : Oups plein de croisement

[invite986312212]

ben moi aussi ch'uis vieux sur ce coup et je connais le résultat pour la série avec les nombres premiers. C'est un calcul dû à Euler (mais je suis moins vieux qu'Euler (et (un peu )moins bon en maths))

[Bleyblue]

Ah bon

Eh bien j'invente des choses qui existent déja alors

Tu as un liens vers une page web qui en parle ? Je vais faire une recherche ...

[invite986312212]

Eh bien j'invente des choses qui existent déja alors

inventer des choses découvertes par ce diable d'homme d'Euler ce n'est pas si mal...

[Bleyblue]

haha

Mais tu n'aurais pas une référence ou un liens vers un site qui parle de cette découverte ? Je n'avais jamais entendut parler de ça et ça m'intéresse ...

[invite986312212]

j'ai trouvé ça:
http://bioinfo.uib.es/~joemiro/teach.../invprimes.pdf

[Bleyblue]

merci je vais jeter un oeil, tenez autre chose :

Si je pose :







J'essaye de montrer que :



Auriez-vous une idée ? J'ai essayé de tous les côtés mais ça ne donne rien :

1) J'ai essayé d'utiliser la relation (évidente) :
2) J'ai essayé de simplifier l'expression
3) J'ai essayé de lier les séries en question aux séries de Mac Laurin de sin cos sh ch

Le mieux que je sois parvenu à faire c'est :



Si vous aviez juste une indication ça serait chouette.

merci

[Flyingsquirrel]

Salut,

Une piste (qui n'a l'air de mener nulle part mais sait-on jamais) :

On a des relations sympathiques entre les trois fonctions , et et leurs dérivées :

Si on arrive à montrer que la dérivée de est la fonction nulle, on a gagné : il suffira de dire que vaut 1 au moins en un point pour conclure. Le seul problème est que je trouve et je n'arrive pas à montrer que cette fonction est nulle partout.

[Médiat]

Si on arrive à montrer que la dérivée de est la fonction nulle, on a gagné : il suffira de dire que vaut 1 au moins en un point pour conclure. Le seul problème est que je trouve et je n'arrive pas à montrer que cette fonction est nulle partout.

Ce qui me conforte dans l'idée qu'il y a une erreur d'énoncé

Soit à montrer que , la dérivée du membre de gauche est identiquement nulle (facile maintenant), donc , et en choisissant x = 0, on trouve que Cste = 1.

Signé : le vieux ! (grâce à Flyingsquirrel)

[Bleyblue]

Effectivement je me suis trompé dans l'énnoncé, que Mr médiat à très bien corrigé

C'est désespérant le temps que j'ai passer sur ce problème sans parvenir à trouver la solution, qui est toute simple.

Je vais aller bouder dans ma chambre !

merci

[Bleyblue]

Et encore un problème marrant :

Prouver que la série dont les termes sont les inverses des entiers positifs dont l'écriture en base 10 ne comporte pas le chiffre 0 est convergente.

Donc c'est les termes de la série harmonique à laquelle on soustrait :

1/10, 1/20, 1/30, ..., 1/90,1/100,1/101,1/102, ..., 1/109,1/110, 120, 1/130, etc.

C'est amusant à faire !

[Bleyblue]

Et encore une jolie :

Trouver la somme de la série :



(discuter en fonction de x)