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Opérateur hermitique



  1. #1
    julien_4230

    Opérateur hermitique


    ------

    Bonjour. Je n'arrive pas à répondre à la fin de la question 2)...

    Soit A un opérateur pas forcément hermitique.

    1) Montrer que A+A et AA+ sont des opérateurs hermitiques (c'est fait)

    2) D'après le théorème spectral il existe pour chacun d'eux une base de vecteurs propres. Montrer que leurs valeurs propres sont réelles (c'est fait) et positives (je n'y arrive pas !!!!).
    On pourra considérer (x|A+Ax) où x est un vecteur propre de A+A.

    Merci de m'aider !!!

    -----

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  3. #2
    God's Breath

    Re : Opérateur hermitique

    Bonjour,

    Citation Envoyé par julien_4230 Voir le message
    On pourra considérer (x|A+Ax)
    (x|A+Ax) est de la forme (x|A+y) : la définition de l'adjoint permet de transformer cette expression, et d'en connaître le signe, ce qui peut s'avérer intéressant lorsque x est vecteur propre de A+A
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    julien_4230

    Re : Opérateur hermitique

    Oui, mais je ne comprends toujours pas en quoi on peut alors connaitre le signe... Même si je passe par la définition, je ne vois pas... Merci de m'aider !

  5. #4
    julien_4230

    Re : Opérateur hermitique

    J'ai la suite de ce problème et j'aimerais savoir si c'est bon :

    Soit un espace de Hilbert de dimension infini discret. On note {ei,i entier naturel} une base orthonormée de cet espace. On définit l'opérateur T de translation par :
    quelque soit i, Tei=ei+1
    On cherche à calculer l'opérateur T+

    3) Montrer que (ei|T+e0) = 0pour tout i. En déduire T+e0.

    On a :
    (ei|T+e0) = (ei+1|e0) = 0
    Donc T+e0 = e0

    4) Calculer (ei|T+e1) = 0 pour tout i. En déduire T+e1.

    Si (ei|T+e1) = 0, alors (ei|T+e0) = (ei|T+e1) = 0.
    Donc T+e0=T+e1=e0.

    5) En déduire l'action de T+ sur la base {ei}.

    On généralise alors : pour tout i, T+ei=e0.

    6) Calculer les opérateurs T+T et TT+, et montrer que leurs valeurs propres obeïssent au résultat de la question 2.

    De l'énoncé, on tire que :
    T+Tei=T+ei+1=e0
    Donc : T+Te0=e0

    De 5), on tire que :
    TT+ei=Te0=e1
    Donc : TT+e1=e1

    On constate que les valeurs propres de T+T et TT+ sont positives.



    Merci de regarder...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    julien_4230

    Re : Opérateur hermitique

    Merci de faire un effort pour me dire si ce que j'ai fait est bon.

    A bientôt.

  8. #6
    Al-Kashi

    Re : Opérateur hermitique

    Salut,

    D'après ce que je vois c'est pour une utilisation en mécanique quantique. Dans ce cas demande à quelqu'un qui maitrise à la fois la mécanique quantique et la théorie spectrale mais je t'assure qu'ils ne sont pas nombreux ceux qui maitrisent les deux domaines à la fois. Mon prof de mécanique quantique est nul en maths, mais l'année dernière j'avais un prof russe, alors là ça rigole pas, il est partout et répond à toutes les questions du monde. Vive la russie
    Cordialement

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