Etude d'une application

[invite725681ad]

Soient E un ensemble non vide, A et B deux parties de E.
On considère l'application f de P(E) dans P(A) X P(B).
A toute partie X de E, f associe le couple (XinterA,XinterB) (je noterais N l'intersection par la suite).

1) Montrer que f est surjective <=> A et B sont d'intersection vide.

Ma démarche se passe en double implication.

* Je suppose f surjective

Ensuite, je raisonne par l'absurde : si A et B n'étaient pas d'intersection vide, on prend X une partie de E incluse dans ANB.

Donc f(X) = (XNA, XNB) = (X,X)

X inclus dans ANB donc XNA = X inclus dans B donc XNA appartient à P(B)
X inclus dans ANB donc XNB = X inclus dans A donc XNB appartient à P(A)

Comme f est surjective (XNB, XNA) = (X,X) a un antécédent par f, X

X a donc deux images (c'est ici que ça coince, parce que le couple est au fond le même ?), ce qui est impossible donc ANB est vide.

* On suppose ANB vide


Voilà, bon je trouve rien, et je présume que ma première implication est fausse. J'ai plutôt du mal à visualiser le problème.

Merci
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[invite57a1e779]

Bonjour,

L'idée de considérer une partie incluse dans est bonne. Il s'agit alors de considérer les antécédents éventuels de par .

[invite725681ad]

De (X, O) ? Pourquoi donc ?

[invitec317278e]

Regarde quels sont les antécédents de cette partie, et vois si tu arrives à une contradiction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite725681ad]

Oui excuse moi, j'ai fini par comprendre en relisant l'énoncé ^^ J'aurais mieux fait de réfléchir ^^

Merci à toi

[invite725681ad]

Pour la réciproque :

On pose AnB vide

Si f n'était pas surjective, alors elle serait injective puisqu'il existerait au moins un élément de P(E) qui n'aurait pas d'image.

On aurait donc Si (XNA, XNB) = (X'NA,X'NB) alors X= X'

Contre exemple

X = A et X' = B barre

On a bien (XNA,XNB) = (A,o) = (X'NA, X'NB)

(XNBbarre) = A car ANB = 0

Or A =/= Bbarre en général

Donc f surjective

Ce qui m'ennuie avec ma démonstration c'est le fait de réfuter l'hypothèse de départ sous couvert du fait que l'affirmation est fausse en général.

Dois-je étudier le cas AuB = E ? (j'imagine que dans ce cas elle est bijective donc surjective)
Ou trouver un meilleur contre-exemple ?

[invite57a1e779]

Si f n'était pas surjective, alors elle serait injective puisqu'il existerait au moins un élément de P(E) qui n'aurait pas d'image.

C'est complètement faux, une application peut très bien n'être ni surjective, ni injective.

Pour la réciproque, tu supposes effectivement , et tu dois montrer que est surjective.

Le plus simple est d'exhiber, pour tout couple élément de , un antécédent par , c'est-à-dire une partie de telle que et .

[invite725681ad]

Donc je dois faire une disjonction des cas ?

[invite725681ad]

XNA = o
et
XNB = o

l'ensemble vide toujours solution

ou

XNA =/= o
XNB = 0

X intersèque A sans interséquer B. Ici A =/= B car ANB = o Donc possible

ou

XNA = o
XNB =/= 0

Idem

ou

XNA =/= 0
XNB =/= 0

X interseque A et B , possible

Encore une faute ? Bon j'arrête de vous ennuyer, je vais tenter de me débrouiller et si j'arrive pas bah tant pis autant être honnête avec soi même ^^

[invite57a1e779]

Point n'est besoin de disjonction des cas.

Il me semble relativement facile, lorsque de trouver, pour tout couple , un ensemble tel que et . Fais un dessin.