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[MPSI] Calcul de sommes



  1. #1
    p-47

    [MPSI] Calcul de sommes


    ------

    Bonjour,

    Me revoilà avec un nouveau problème.

    Je vous expose déjà l'énoncé:

    Soit z un complexe et n un entier supérieur ou égal à 1, on pose:

    1. Calculer .

    2. Montre que .

    3. En déduire que lorsque , on a: .

    1. A cette question je trouve

    2.Ici, en "rentrant" dans , je trouve que est égal à:



    Mais je ne vois pas comment continuer afin d'arriver à l'expression voulue.

    -----
    Dernière modification par p-47 ; 21/09/2008 à 15h48.
    Abuti errore hostium.

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  3. #2
    Thorin

    Re : [MPSI] Calcul de sommes

    Une simple récurrence te sera d'un grand secours.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  4. #3
    p-47

    Re : [MPSI] Calcul de sommes

    Je ne vois pas comment montrer l'hérédité, j'arrive à des formules à rallonge insimplifiables ...
    Abuti errore hostium.

  5. #4
    Thorin

    Re : [MPSI] Calcul de sommes


    La dernière égalité vient de l'hypothèse de récurrence.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  6. #5
    p-47

    Re : [MPSI] Calcul de sommes

    Je ne comprend pas le passage de la première à la deuxième ligne.

    Je commence à me poser des questions, ils sont si évidents que ça ces exercices ? Les solutions ne me sautent pas vraiment aux yeux, ça me fait un peu peur ...
    Abuti errore hostium.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Thorin

    Re : [MPSI] Calcul de sommes

    pour le passage de la première ligne à la seconde : j'ai séparé Sn+1 en Sn+(n+1)z^(n+1), et j'ai ajouté et soustrait nz^(n+1).


    Je suis en MP, maintenant, moi, plus en MPSI, c'est relativement normal que je trouve faciles des exos de début de première année Et puis, je suis loin d'être parmi les moins bons en maths, aussi...
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

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  10. #7
    p-47

    Re : [MPSI] Calcul de sommes

    Ah oui, j'ai compris, mais est-ce cette méthode qui doit être employée pour résoudre cet exercice ? Pour faire comme ça il faut déjà avoir dans un coin de la tête une idée de ce qu'il faut trouver par la suite, ce qui n'est pas évident du tout ...
    Abuti errore hostium.

  11. #8
    Thorin

    Re : [MPSI] Calcul de sommes

    Mais on a une idée de ce qu'il faut trouve par la suite : c'est l'avantage de la récurrence, on sait exactement ce que l'on veut obtenir, et on sait souvent de quoi on doit se servir pour l'obtenir, à savoir l'hypothèse de récurrence...

    J'explique la manière dont j'ai raisonné, en espérant que ça te servira pour savoir que mon calcul a été assez naturel :

    Tout d'abord, ce que je veux prouver, c'est bien sûr l'égalité au rang n+1.
    Je pars donc du membre de gauche, et je veux arriver au membre de droite.
    Je suis pragmatique, je sais que je fais une récurrence, il me faudra donc utiliser à un moment l'hypothèse de récurrence...mais pour cela, il faut que je fasse apparaitre du Sn, et du n.z^(n+1). Pour faire apparaitre du Sn, je sépare la somme Sn+1, et pour faire apparaitre du n.z^(n+1), comme il n'y est à priori pas dou tout, bah je l'ajoute et le soustrais, parce que j'en veux à tout prix, de celui là.
    Ensuite, je développe, et je vois que des choses se simplifient, et finalement, il reste 2 choses : le membre de gauche de l'hypothèse de récurrence, et un z^(n+1)...ce qui est parfait, je n'ai plus qu'à appliquer l'hypothèse de récurrence, et rentrer le z^(n+1) dans la somme.

    Comme tu le vois (j'espère), le calcul est finalement assez naturel. Et si tu ne le trouves malgré ça toujours pas naturel, ne t'affoles pas, ça ne veut pas dire que tu n'es pas fait pour la prépa.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  12. #9
    p-47

    Re : [MPSI] Calcul de sommes

    On ne m'avait jamais aussi bien expliqué la récurrence, merci !
    Effectivement, le calcul est assez naturel.

    Il ne me reste plus que la question 3., je vais voir ce que je peux faire, si je ne trouve pas je ferai à nouveau un petit tour par ici. En espérant que si je ne trouve pas seul la première fois j'y arriverai les fois suivantes.
    Abuti errore hostium.

  13. #10
    p-47

    Re : [MPSI] Calcul de sommes

    Pourrais-je avoir une piste et l'explication de celle-ci (pourquoi penser à ça ...) pour la question 3. s'il vous plaît ?
    Abuti errore hostium.

  14. #11
    Thorin

    Re : [MPSI] Calcul de sommes

    Petite remarque d'abord : il n'y a pas toujours de bonne raison logique et naturelle de penser à la bonne réponse. C'est l'intuition, l'expérience, la mémoire, voire dans des cas extrêmes, le génie, qui donne les solutions...


    ici, il faut se rappeler que tu as une formule pour calculer . C'est la formule de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique, que tu as du voir au lycée.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  15. #12
    p-47

    Re : [MPSI] Calcul de sommes

    Sur ce coup là, c'est ma mémoire qui m'a fait défaut ...

    Mais je ne trouve pas la bonne réponse en utilisant la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.

    Voici mon calcul:



    Ce qui ne peut pas être égal au résultat demandé ! Puisque dans ce cas il faudrait que
    Abuti errore hostium.

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  17. #13
    Thorin

    Re : [MPSI] Calcul de sommes

    Je suppute un petit problème de mise au même dénominateur
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  18. #14
    p-47

    Re : [MPSI] Calcul de sommes

    Je vais voir.

    Ne pas tenir compte de "Ce qui ne peut pas être égal au résultat demandé ! Puisque dans ce cas il faudrait que ...", il y a eu une faute de frappe et je ne peux plus éditer.
    Abuti errore hostium.

  19. #15
    p-47

    Re : [MPSI] Calcul de sommes

    J'ai honte pour le même dénominateur, j'ai voulu aller trop vite ().


    Un très grand merci pour toute l'aide que tu m'as apporté et le temps que tu m'as consacré !
    Abuti errore hostium.

  20. #16
    Moma

    Re : [MPSI] Calcul de sommes

    Une remarque en passant, la formule de la somme d'une série géométrique est juste si et seulement si ....

    Si alors ...
    Si , la formule "fonctionne" si on pose (voir le fil d'explication).

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