[MPSI] Calcul de sommes

[invite2d8f02e5]

Bonsoir,

Étant un petit peu perdu avec les calculs de sommes (les démonstrations sont un chouilla indigestes), je viens vous demander un coup de main pour un exercice qui je l'espère me permettra d'y voir un peu plus clair.

Dans un premier temps il a fallu trouver 3 réels a,b et c tels que pour tout k appartenant aux nombres naturels privés de 0 on ait:

1/(k(k+1)(k+2)) = a/k + b/(k+1) + c/(k+2)

Les résultats sont a= 1/2, b=-1 et c=1/2.

Puis il faut en déduire la valeur de la somme S qui est la somme pour k compris entre 1 et n de 1/(k(k+1)(k+2)).

Je dois avouer que je suis un peu perdu, je ne sais pas trop par où commencer et je n'ai rien vu qui y ressemble dans le cours.

(Je m'excuse pour la présentation qui n'est pas très propre, je ne me suis pas encore penché sur le Latex).
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[Jeanpaul]

Dans ce genre d'exo on est souvent bien inspiré de s'armer d'un peu de patience et d'écrire sans s'énerver les 5 ou 10 premiers termes.
Donc tu écris la relation que tu viens de démontrer pour k=1 puis, en-dessous pour k=2, puis encore en-dessous pour k=3, etc...
Et tu regardes avec soin ce qui se passe quand on additionne. Il y a des trucs à voir.

[Al-Kashi]

Salut, je te donne une piste:



De même:



Maintenant le tour est joué et je te laisse le soin de continuer.

[invite2d8f02e5]

Je viens de calculer les 5 premiers termes de la somme, ce qui donne:

k=1: 1/6
k=2: 1/24
k=3: 1/60
k=4: 1/120
k=5: 1/210

J'ai beau retourner ces nombres dans tous les sens, je ne vois pas bien ce que je pourrais en sortir.

Edit: J'ai posté en même temps que Al-kashi, je vais examiner ça.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Fallait pas effectuer ! Il y a un réarrangement (télescopage) entre les 3 termes de chaque ligne (ça se simplifie d'une ligne à l'autre)

[invite2d8f02e5]

Je vais voir du côté de la simplification télescopique, je devrais trouver avec toutes ces indications, enfin je l'espère.

[invite2d8f02e5]

Je n'ai pas réussi à avancer du côté de la simplification télescopique, par contre ça m'a permis de bien apprendre cette démonstration.

J'arrête pour ce soir, je reverrai tout ça demain matin avec l'esprit un peu plus clair, en attendant si quelqu'un veut rajouter quelque chose qu'il ne se gêne pas

[Jeanpaul]

Histoire de t'entraîner, tu pourrais calculer la somme de 1/[k (k+1)] en remarquant que ;
1/[k (k+1)] = 1/k - 1/(k+1)
Ca marche exactement pareil sauf que c'est plus simple (télescopage sur 2 lignes au lieu de 3)
Tu écris que
1/(1*2) = 1/1 - 1/2 et en-dessous
1/(2*3) = 1/2 - 1/3
1/(3*4) = 1/3 - 1/4

et tu ajoutes

[invite2d8f02e5]

En utilisant la simplification télescopique, j'obtiens que la somme de 1/[k (k+1)] est égale à 1+1/(n+1), est-ce correct ?

Edit: Ah non ce n'est pas juste, je vais voir où je me suis trompé.

[invite2d8f02e5]

J'avais une erreur de signe, la somme de 1/[k (k+1)] donne 1-1/(n+1).

Pour la question de l'exercice, la méthode est de rassembler 2 termes (comme j'ai fais avec 1/[k (k+1)]) puis d'y ajouter le troisième ?

[invite2d8f02e5]

Histoire de t'entraîner, tu pourrais calculer la somme de 1/[k (k+1)] en remarquant que ;
1/[k (k+1)] = 1/k - 1/(k+1)
Ca marche exactement pareil sauf que c'est plus simple (télescopage sur 2 lignes au lieu de 3)
Tu écris que
1/(1*2) = 1/1 - 1/2 et en-dessous
1/(2*3) = 1/2 - 1/3
1/(3*4) = 1/3 - 1/4

et tu ajoutes

Pour 1/[k (k+1)] = 1/k - 1/(k+1), j'arrive à trouver le résultat par le calcul (simplification télescopique) et en écrivant les lignes l'une en dessous de l'autre, mais pour la question de l'exercice, en écrivant une ligne en dessous de l'autre il n'y a aucune symétrie .

[Thorin]

C'est pourtant la même chose :

[invite2d8f02e5]

En utilisant ce que tu viens de dire, je trouve comme résultat que la somme est égale à 1/(2n+2) + 1/(2n+4) - 3/4, ce qui est faux pourtant les calculs étaient très simples, je les ai même refais ...

Tu voudrais bien mettre le cheminement du calcul jusqu'à la fin, que je puisse voir où je me suis trompé s'il te plaît ?

[invite2d8f02e5]

Je n'ai pas été assez rapide pour éditer, considérez donc le message précedent comme nul.

[invite2d8f02e5]

Ais-je fais une erreur quelque part ?

[Thorin]

Tu sembles utiliser cette égalité, qui est fausse : erreurs de signes.

[invite2d8f02e5]

J'ai corrigé cette erreur, j'obtiens maintenant que la somme est égale à :



ce qui est encore faux, il doit y avoir une autre erreur ...

Qu'obtenez-vous lorsque vous faîtes le calcul ?

[Thorin]

En reprenant tes calculs et changeant les signes de ce que je t'ai indiqué, je trouve :

[Jeanpaul]

C'est juste et facile à vérifier d'ailleurs.

[invite2d8f02e5]

Oui, j'avais laissé trainer un +1/2 dont je n'avais pas tenu compte, ce qui fait donc bien passer -1/4 à +1/4.

Merci beaucoup à tous les trois pour votre aide, je suis déjà bien plus à l'aise dans le maniement des sommes.

Il me reste encore un exercice sur les sommes, avec des produits et des puissances, si je suis bloqué je reviendrai vous voir dans un nouveau sujet