Montrer l'égalité de 2 intégrales

[citron_21]

bonjour,
j'ai 2 intégrales (sur le même segment [0,1]) et je dois montrer qu'elle sont égales. les fonctions sont les suivantes :

j(t)=(lnt)/(1+t)
k(t)=-ln(1+t)/t

et donc les intégrales sont J=∫j(t).dt et K=∫k(t).dt (sur [0,1])

j'ai essayé entre autres de calculer la différence des deux intégrales pour montrer qu'elle est nulle, mais j'arrive à une fonction trop compliquée pour faire quoique ce soit... Avez-vous une méthode svp ?

Merci d'avance
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[Médiat]

j(t)=(lnt)/(1+t)
k(t)=-ln(1+t)/t

As-tu essayé un changement de variable ?

[citron_21]

j'y ai pensé, mais je croyais que ca ne simpliferait rien.
X=ln(t) ou X=t+1 ?

merci d'avance

[Thorin]

On peut éventuellement remarquer que :



Après, faut étudier la limite de en 0...

[A voir en vidéo sur Futura]

[citron_21]

ah ok je vois !
merci beaucoup.
et une autre question qui rentre un peu dans ce sujet-là.
Quand on doit étudier la limite de ln(1+x) en 0, on fait un DL.
Mais pour ce qui est de ln(x) en 0, on ne connait pas de DL ?
alors peut-être des équivalents ?

merci d'avance

[Médiat]

On peut éventuellement remarquer que :

Bien meilleure idée qu'un éventuelle changement de variable, du coup

[Thorin]

Mais pour ce qui est de ln(x) en 0, on ne connait pas de DL ?

Pour développer ln(x) en 0, il faudrait que ln soit définie en 0, ce qui n'est pas le cas.

si tu veux calculer la limite que j'ai indiqué plus haut, il faut dire qu'en 0, ln(1+t) est équivalent à t.

[citron_21]

ok, et après on y arrive par croissance comparée !
merci beaucoup de vos explications