salut, j'ai l'équation:
dy/dx = (y²-x²) / (3xy)
je dois dire si on peut la résoudre par la méthodes des variables séparables, linéaire, bernoulli et homogène
je voudrais tenté par la méthode des variables séparables
dy/dx = y²/(3xy) - x²/(3xy)
dy/dx = y/(3x) - x/(3y)
et là je sais plus trop quoi faire...
vue que je coince souvent en math, j'aimerais bien pouvoir demander de l'aide rapidement par icq, msn... comme ça je m'améliorerait plus rapidement
Salut,
C'est possible que tu coinces parce que l'équation n'est pas résolvable par cette méthode...
et pourquoi?
de toute façon je coince avant même la séparation de variables...
Si tu n'arrives pas à séparer les variables, c'est peut-être parce qu'elles ne sont pas séparables... Dans ce cas, c'est normal que tu bloques à un moment ou l'autre du calcul.
ça peut aussi être car je sais pas comment
on peut par la méthode homogène
dy/dx = y²/(3xy) - x²/(3xy)
dy/dx = y/(3x) - x/(3y)
on multiplit par 3
dy/dx = y/x - x/y
dy/dx = y/x - 1/(y/x)
là je sais pu
après edit:
on peut par la méthode homogène
dy/dx = y²/(3xy) - x²/(3xy)
dy/dx = y/(3x) - x/(3y)
on multiplit par 3
3dy/dx = y/x - 1/(y/x)
une idée pour la suite?
bonjour,
Il me semble qu'elle est homogène.
Elle peut en effet s'écrire sous la forme : F(y',y/x) = 0
y' = y²-x² / 3xy = [(y/x)²-1] / 3(y/x)
Résolution (seulement une piste!):
On pose : y=tx
On obtient : y' = (t²-1) / 3t = f(t)
dy = d(tx) = tdx + xdt = f(t)dx
pour f(t) différend de t:
[f(t)-t]dx = xdt
on sépare les variables:
1/[f(t)-t]dt = dx/x = U(t)
d'où:
ln(x/k) = U(t) (x/k : en valeur absolue)
et enfin:
x = k.U(t)
y = tx = t.k.U(t)
(repésentation paramétrique de la fonction)
si f(t0)=t0:
y=t0.x est une intégrale singulière (autant que de racines)
Bon courage!
auto-correction:
pour f(t) différent de t:
[f(t)-t]dx = xdt
on sépare les variables:
primitive de {(dt/[f(t)-t]}= primitive de {dx/x} = U(t)
mille excuses!
je comprend pas trop ta méthode mais bon...
on reprend
dy/dx = y²/(3xy) - x²/(3xy)
dy/dx = y/(3x) - x/(3y)
on multiplit par 3
3 dy/dx = y/x - x/y
3 dy/dx = y/x - 1/(y/x)
U=y/x
dU/dx = 1/x * dy/dx - y/x²
dy/dx = u+x * du/dx
u+x * du/dx = u-1/u
pou la suite, une idée?
3 dy/dx = y/x - 1/(y/x)
u=y/x
Jusque là OK!
Si tu suis la méthode, tu écris:
3 dy/dx = u-1/u = (u²-1)/u
et: y = ux => dy = udx+xdu (point clé!)
d'où:
3(udx+xdu) = [(u²-1)/u]dx
il faut séparer les variables:
3xdu = [(u²-1)/u-3u]dx = - [(2u²+1)/u]dx (on y est presque!)
=> dx/x = -[3u/(2u²+1)]du (voilà, c'est fait)
On passe maintenant aux primitives.
primitive de dx/x : ln(x/k) (k= constante d'intégration)
primitive de -[3u/(2u²+1)]du : (-3/4).ln(2u²+1)
(rappel : une primitive de v'/v est ln(v) )
d'où:
x/k = (2u²+1)^(-3/4)
On obtient ainsi une représentation paramétrique de la fonction cherchée:
x = k.(2u²+1)^(-3/4)
y = ux = k.u.(2u²+1)^(-3/4)
Si tu veux une représentation cartésienne y=f(x)
ou implicite F(x,y)=0, il te faut éliminer "u".
Je ne suis pas allé jusque là.
En dérivant x(u) et y(u) par rapport à u ,tu dois pouvoir vérifier si la solution est correcte (sauf erreur!)
à mon avis, en posant z = y/x, dz = delz/delx dx + delz/dely dy on arrive à une équation différentielle en x et z facilement séparable.
en même temps c'est loin pour moi, et je n'en suis pas sur.
