Méthode de résolution d'équation...
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Méthode de résolution d'équation...



  1. #1
    invite3569df15

    Méthode de résolution d'équation...


    ------

    salut, j'ai l'équation:

    dy/dx = (y²-x²) / (3xy)

    je dois dire si on peut la résoudre par la méthodes des variables séparables, linéaire, bernoulli et homogène

    je voudrais tenté par la méthode des variables séparables

    dy/dx = y²/(3xy) - x²/(3xy)

    dy/dx = y/(3x) - x/(3y)

    et là je sais plus trop quoi faire...

    vue que je coince souvent en math, j'aimerais bien pouvoir demander de l'aide rapidement par icq, msn... comme ça je m'améliorerait plus rapidement

    -----

  2. #2
    Coincoin

    Re : Méthode de résolution d'équation...

    Salut,
    C'est possible que tu coinces parce que l'équation n'est pas résolvable par cette méthode...
    Encore une victoire de Canard !

  3. #3
    invite3569df15

    Re : Méthode de résolution d'équation...

    et pourquoi?

    de toute façon je coince avant même la séparation de variables...

  4. #4
    Coincoin

    Re : Méthode de résolution d'équation...

    Si tu n'arrives pas à séparer les variables, c'est peut-être parce qu'elles ne sont pas séparables... Dans ce cas, c'est normal que tu bloques à un moment ou l'autre du calcul.
    Encore une victoire de Canard !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite3569df15

    Re : Méthode de résolution d'équation...

    ça peut aussi être car je sais pas comment

  7. #6
    invite3569df15

    Re : Méthode de résolution d'équation...

    on peut par la méthode homogène

    dy/dx = y²/(3xy) - x²/(3xy)

    dy/dx = y/(3x) - x/(3y)

    on multiplit par 3
    dy/dx = y/x - x/y

    dy/dx = y/x - 1/(y/x)

    là je sais pu

  8. #7
    invite3569df15

    Re : Méthode de résolution d'équation...

    après edit:


    on peut par la méthode homogène

    dy/dx = y²/(3xy) - x²/(3xy)

    dy/dx = y/(3x) - x/(3y)

    on multiplit par 3
    3dy/dx = y/x - 1/(y/x)

    une idée pour la suite?

  9. #8
    invite0ced31e7

    Re : Méthode de résolution d'équation...

    bonjour,

    Il me semble qu'elle est homogène.
    Elle peut en effet s'écrire sous la forme : F(y',y/x) = 0
    y' = y²-x² / 3xy = [(y/x)²-1] / 3(y/x)
    Résolution (seulement une piste!):
    On pose : y=tx
    On obtient : y' = (t²-1) / 3t = f(t)
    dy = d(tx) = tdx + xdt = f(t)dx
    pour f(t) différend de t:
    [f(t)-t]dx = xdt
    on sépare les variables:
    1/[f(t)-t]dt = dx/x = U(t)
    d'où:
    ln(x/k) = U(t) (x/k : en valeur absolue)
    et enfin:
    x = k.U(t)
    y = tx = t.k.U(t)
    (repésentation paramétrique de la fonction)
    si f(t0)=t0:
    y=t0.x est une intégrale singulière (autant que de racines)

    Bon courage!

  10. #9
    invite0ced31e7

    Re : Méthode de résolution d'équation...

    auto-correction:

    pour f(t) différent de t:
    [f(t)-t]dx = xdt
    on sépare les variables:
    primitive de {(dt/[f(t)-t]}= primitive de {dx/x} = U(t)

    mille excuses!

  11. #10
    invite3569df15

    Re : Méthode de résolution d'équation...

    je comprend pas trop ta méthode mais bon...

    on reprend


    dy/dx = y²/(3xy) - x²/(3xy)


    dy/dx = y/(3x) - x/(3y)

    on multiplit par 3
    3 dy/dx = y/x - x/y

    3 dy/dx = y/x - 1/(y/x)

    U=y/x

    dU/dx = 1/x * dy/dx - y/x²

    dy/dx = u+x * du/dx

    u+x * du/dx = u-1/u

    pou la suite, une idée?

  12. #11
    invite0ced31e7

    Re : Méthode de résolution d'équation...

    3 dy/dx = y/x - 1/(y/x)
    u=y/x
    Jusque là OK!

    Si tu suis la méthode, tu écris:
    3 dy/dx = u-1/u = (u²-1)/u
    et: y = ux => dy = udx+xdu (point clé!)
    d'où:
    3(udx+xdu) = [(u²-1)/u]dx

    il faut séparer les variables:
    3xdu = [(u²-1)/u-3u]dx = - [(2u²+1)/u]dx (on y est presque!)
    => dx/x = -[3u/(2u²+1)]du (voilà, c'est fait)

    On passe maintenant aux primitives.
    primitive de dx/x : ln(x/k) (k= constante d'intégration)
    primitive de -[3u/(2u²+1)]du : (-3/4).ln(2u²+1)
    (rappel : une primitive de v'/v est ln(v) )

    d'où:
    x/k = (2u²+1)^(-3/4)
    On obtient ainsi une représentation paramétrique de la fonction cherchée:
    x = k.(2u²+1)^(-3/4)
    y = ux = k.u.(2u²+1)^(-3/4)

    Si tu veux une représentation cartésienne y=f(x)
    ou implicite F(x,y)=0, il te faut éliminer "u".
    Je ne suis pas allé jusque là.
    En dérivant x(u) et y(u) par rapport à u ,tu dois pouvoir vérifier si la solution est correcte (sauf erreur!)

  13. #12
    olle

    Re : Méthode de résolution d'équation...

    à mon avis, en posant z = y/x, dz = delz/delx dx + delz/dely dy on arrive à une équation différentielle en x et z facilement séparable.
    en même temps c'est loin pour moi, et je n'en suis pas sur.

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