Matrice à coefficients complexes

invitebcc0a73f · 01/10/2008, 15h17

Bonjour,

J'ai un exercice sur les matrices carrées d'ordre n à coefficients complexes.

1/ Il faut que je montre qu'il existe $\text{[math]}$ tel que :
$\text{[math]}$ det $\text{[math]}$

Déterminer $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

2/ La matrice est inversible si et seulement si $\text{[math]}$ . Déterminer dans ce cas det $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ .

Pour la question 1, j'ai trouvé que $\text{[math]}$ devait être égale au det (A), et que $\text{[math]}$ devait être égale $\text{[math]}$
Sinon je ne vois pas comment calculer le déterminant, et comment faire intervenir les coefficients $\text{[math]}$ .

Pourriez vous me donner un petit coup de main.

invite57a1e779 · 01/10/2008, 19h47

Bonjour,

Envoyé par tony800

Sinon je ne vois pas comment calculer le déterminant, et comment faire intervenir les coefficients $\text{[math]}$ .

Il suffit de développer brutalement $\text{[math]}$

invitebcc0a73f · 01/10/2008, 20h01

Mais les coefficients $\text{[math]}$ correspondent à quels coefficients de la matrice A? $\text{[math]}$ .

invite57a1e779 · 01/10/2008, 20h50

Ils sont donnés par des formules assez compliquées, c'est pourquoi seuls $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont explicitement demandés.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitebcc0a73f · 02/10/2008, 10h53

Je viens de comprendre, les coefficients a_0 et a_n vaut respectivement $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

invitebcc0a73f · 02/10/2008, 11h22

Sinon pour la question 2 je trouve que :

$\text{[math]}$

invitebcc0a73f · 02/10/2008, 15h00

En fait je me suis trompé pour $\text{[math]}$ , ce n'est pas le produit des termes diagonaux mais le $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ , ce qui signifie que $\text{[math]}$

invite57a1e779 · 02/10/2008, 19h08

Tu as les bonnes valeurs de $\text{[math]}$ et de $\text{[math]}$ .
Il reste un petit problème pour le calcul de $\text{[math]}$ . Pourrais-tu détailler la technique que tu as utilisée pour obtenir ton résultat ?

invitebcc0a73f · 02/10/2008, 20h28

Je viens de me rendre compte que je me suis trompé. Voilà ce que je trouve :

$\text{[math]}$

Sinon j'ai utilisé ce qu'il y a entre parenthèse dans mon premier poste pour simplifier l'expression.

invite57a1e779 · 02/10/2008, 20h58

Cela ne peut pas être le bon résultat puisqu'on attend un polynôme...

invitebcc0a73f · 03/10/2008, 20h42

J'ai dit que $\text{[math]}$

Or $\text{[math]}$

On a donc $\text{[math]}$

invite57a1e779 · 03/10/2008, 21h46

Sauf que $\text{[math]}$ n'est en général pas égal à $\text{[math]}$ ... et que le calcul nécessite d'avoir $\text{[math]}$ non nul.

invitebcc0a73f · 03/10/2008, 22h11

Quand $\text{[math]}$ , le déterminant est égale à $\text{[math]}$ .

Sinon à quoi est égale $\text{[math]}$ ?

invite57a1e779 · 03/10/2008, 22h18

Premier problème : lorsque $\text{[math]}$ , on a du mal à écrire la matrice $\text{[math]}$ ...

Second problème : le déterminant est une forme $\text{[math]}$ -linéaire (alternée), donc $\text{[math]}$ .

invitebcc0a73f · 03/10/2008, 22h49

Envoyé par God's Breath

Second problème : le déterminant est une forme $\text{[math]}$ -linéaire (alternée), donc $\text{[math]}$ .

Il n'y aurait pas un problème dans l'expression, ce n'est pas plutôt :

$\text{[math]}$

Sinon ce n'est pas un problème, car si $\text{[math]}$ cela veut tout simplement dire que le déterminant demandé vaut $\text{[math]}$ , c'est ce qu'il y a entre parenthèse dans mon premier post (2ème question).

invite57a1e779 · 03/10/2008, 22h52

Envoyé par tony800

Il n'y aurait pas un problème dans l'expression, ce n'est pas plutôt :

$\text{[math]}$

Bien sûr que si.

invite57a1e779 · 03/10/2008, 22h55

Envoyé par tony800

Sinon ce n'est pas un problème, car si $\text{[math]}$ cela veut tout simplement dire que le déterminant demandé vaut $\text{[math]}$ , c'est ce qu'il y a entre parenthèse dans mon premier post (2ème question).

Le problème est que, pour $\text{[math]}$ , ton expression $\text{[math]}$ ne fournit pas $\text{[math]}$ .

invitebcc0a73f · 06/10/2008, 14h26

Il faut traiter les 2 cas séparés,

Le premier cas ou $\text{[math]}$

D'ou on aura la formule :

$\text{[math]}$

Et le deuxième cas ou $\text{[math]}$ , et dans ce cas $\text{[math]}$

invite57a1e779 · 06/10/2008, 16h06

Envoyé par tony800

Le premier cas ou $\text{[math]}$

D'ou on aura la formule :

$\text{[math]}$

Ce n'est pas possible, $\text{[math]}$ est un polynôme en $\text{[math]}$ .

invitebcc0a73f · 06/10/2008, 16h20

Alors comment faut-il aborder cette question?

invitebcc0a73f · 06/10/2008, 16h51

Je ne me suis pas trompé c'est juste ce que j'ai fait, il faut juste distingué les 2 cas et continuer à développer mon expression, je me suis arrêté trop tôt.

En fait j'ai juste à réinjecter $\text{[math]}$ dans ce qu'il y a entre parenthèse et là j'obtiens un polynôme de degré n.

Ensuite $\text{[math]}$

inviteaf1870ed · 06/10/2008, 16h53

Envoyé par tony800

Il n'y aurait pas un problème dans l'expression, ce n'est pas plutôt :

$\text{[math]}$

Tu n'appliques pas bien cette formule dans ton calcul. Fais le et tu retrouveras un polynôme en lambda...

invitebcc0a73f · 06/10/2008, 17h00

Ce que j'obtiens à la fin c'est :

$\text{[math]}$

invite57a1e779 · 06/10/2008, 17h08

Envoyé par tony800

Ce que j'obtiens à la fin c'est :

$\text{[math]}$

Tu as montré au début de l'exercice que : $\text{[math]}$ ,avec $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$

On attend donc un résultat de la forme : $\text{[math]}$ ,avec $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ .

Tu as corrigé quelques erreurs de calcul, mais ce n'est toujours pas la réponse attendue...

invitebcc0a73f · 06/10/2008, 17h23

Voilà le dernier résultat que je trouve.

$\text{[math]}$

J'ai fait une grosse erreur de calcul, j'ai oublié de développé $\text{[math]}$ dans chaque terme de la parenthèse, donc le $\text{[math]}$ s'annule quand on le multiplie par $\text{[math]}$ ).
Maintenant j'ai bien un polynôme de degré n, avec $\text{[math]}$ (et pas $\text{[math]}$ ) et $\text{[math]}$

invite57a1e779 · 06/10/2008, 17h34

Envoyé par tony800

J'ai fait une grosse erreur de calcul, j'ai oublié de développé $\text{[math]}$ dans chaque terme de la parenthèse, donc le $\text{[math]}$ s'annule quand on le multiplie par $\text{[math]}$

OUI, et la plus grosse des erreurs de calcul est souvent la plus difficile à repérer...
Quand au $\text{[math]}$ , il ne s'annule pas vraiment quand on le multiplie par $\text{[math]}$ , cela permet seulement de simplifier l'expression.

invitebcc0a73f · 06/10/2008, 17h42

C'est ce que je voulais dire.

Je vous remercie pour l'aide que vous m'avez apporté et de votre patience lol.

Matrice à coefficients complexes

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