quadrature du cercle

[ClaudeH]

Ce sujet a peut-être été abordé.

Comment construire un cercle et un carré de même aire, à l'aide d'un compa et d'une règle.
Il parrait que c'est impossible. (Lindemann)

Effectivement si nous prenons:
a^a --> aire du carré.
Pi*r^r --> aire du cercle.

Nous avons l'égalité suivante a^a = pi*r^r
Avec r=1 ---> a^a = pi*1^1
Donc a = racine de pi
Pi ne peut avoir de racine étant un nombre transcendantal. Je suis ok.
Pourtant si je prends une simple ficelle et noue les deux bouts je pourrais lui faire prendre aussi bien la forme d'un carré ou d'un cercle sans en altérer l'aire.

D'ou vient cette différence?
Merci de pouvoir m'éclairer..
-----

[invite88ef51f0]

Salut,
Je ne suis pas sûr de bien comprendre... Tu prens une ficelle refermée sur elle-même ? Dans ce cas, c'est le périmètre qui est le même, pas l'aire, non ?

[g_h]

a^a --> aire du carré.
Pi*r^r --> aire du cercle.

c'est pas plutôt a*a et r*r ?

[erik]

Pi ne peut avoir de racine étant un nombre transcendantal

.
Bon en fait Pi est un nombre transcendant pas "transcendantal", mais bon peu importe, la principal est qu'il n'est pas possible de construire à la règle et au compas la racine carre d'un nombre transcendant.(sinon à part ça la racine carré d'un nombre transcendant positif existe)
Il est facile de construire (dessiner) la racine carré d'un entier (par exemple pour "dessiner" sqr(2) il suffit de construire la diagonale d'un carré de cote 1, ce qui est facile à l'aide uniquement d'un compas et d'une règle). Par contre pour les nombres transcendant on est coincé.

Pourtant si je prends une simple ficelle et noue les deux bouts je pourrais lui faire prendre aussi bien la forme d'un carré ou d'un cercle sans en altérer l'aire

Comme le fait remarquer coincoin tu as des périmetres egaux pas l'aire, mais peu importe, l'important c'est que ton opération "je prends une ficelle..." n'est pas équivalente à une construction à la règle et au compas.

Est ce clair ?
Erik

[A voir en vidéo sur Futura]

[ClaudeH]

Salut,
Je ne suis pas sûr de bien comprendre... Tu prens une ficelle refermée sur elle-même ? Dans ce cas, c'est le périmètre qui est le même, pas l'aire, non ?

Oui autant pour moi je vais un peu trop vite dans mes petis calculs.

[invite88ef51f0]

Oui autant pour moi je vais un peu trop vite dans mes petis calculs

C'était juste pour m'assurer que j'avais bien compris...

Pi ne peut avoir de racine étant un nombre transcendantal

C'est faux dit comme ça... Tout nombre positif a bien évidemment une racine. Par contre, en tant que nombre transcendant, Pi ne peut pas être (par définition) racine (au sens de solution) d'une équation algébrique a coefficients rationnels. D'ailleurs si Erik pouvait développer le point :

c'est que ton opération "je prends une ficelle..." n'est pas équivalente à une construction à la règle et au compas.

...et notamment expliciter en quoi on peut relier ça aux équations et aux nombres transcendants.

[inviteab2b41c6]

Les principes de construction et de nombres constructibles ne sont pas évident à expliquer, et reposent sur la théorie des groupes et des corps de Galois, je doute qu'on puisse apporter une réponse simple et compréhensible par tous à ce sujet...

[invite88ef51f0]

Et une réponse compliquée mais pas trop longue, c'est possible ?

[erik]

Ok Coincoin je vais tenter de développer,

Dans les constructions à la règle et au compas les deux seul outils autorisés sont donc un compas (qui peut avoir un écartement aussi grand que nécessaire) et une régle (non graduée), les seules "opérations" permises sont donc tracer des droites (ou des segment de droites) et des cercles (ou des arcs de cercles). A partir de ces contraintes la question est : est il possible de tracer telle ou telle figure.

On montre facilement que l'on peut tracer des figures simples genre un carre, un triangle equilatéral etc

Par extension une vielle question a été "puis je tracer un segment de droite d'une taille donnée ?".
Pour un segment de taille entière (disons n) pas de probleme : je trace un segment de longueur 1 (la regle n'est pas graduée mais je peut choisir "l'echelle" que je veux - donc je trace un segment et je pose : ce segment a une longueur égale à un), j'ecarte mon compas de manière à ce que la pointe et la mine corresponde aux extremitées de mon segment, je prolonge (à l'aide de la règle) mon segment, à l'aide du compas qui a un écartement correspondant à l'unité je repporte n fois l'unité sur ma droite, je fini par obtenir un segment de longueur n.
Pour obtenir un segment de taille rationnel, pareil pas trop de problèmes on s'en sort (par exemple pour un segment de taille n/2 il suffit de tracer la bissectrice d'un segment de taille n).
Comme je les disais 3 post plus haut on peut egalement obtenir des segments de taille racine(n). (même si les pythagoriciens étaient embetés par ce fait - c'est une autre histoire).
On arrive à démontrer qu'il est possible de construire n'importe quel segment dont la taille est solution d'une équation algebrique.

Au XIXe siecle on demontre que seul les segments ayant une taille solution d'une équation algébrique sont constructibles.
Il est donc impossible de construire un segment de taille Pi, e, ...

Quand claudeH prend sa ficelle de longueur 2*Pi, et qu'il la divise en quatre pour en faire un carré, il suppose qu'il est possible à partir d'un cercle de dessiner un segment de longueur Pi et comme je viens de le dire ceci n'est pas possible (du moins avec nos outils limités : une règle, un compas).

Historiquement on a démontré l'impossibilité de construction d'un nombre transcendant à la règle et au compas, puis la transcendance de Pi (par des méthodes purement analytique) donc on en a déduit l'impossibilité de la quadrature du cercle.

Ais je répondu à la question ?

Erik

[invite88ef51f0]

Ais je répondu à la question ?

Tout à fait oui... Et je comprends que les deux lignes suivantes soient difficilement explicables :

On arrive à démontrer qu'il est possible de construire n'importe quel segment dont la taille est solution d'une équation algebrique.

Au XIXe siecle on demontre que seul les segments ayant une taille solution d'une équation algébrique sont constructibles.

[erik]

Oui pas facile en quelques lignes, comme l'a dit quinto la démo passe par la théorie des groupes, il existe un très bon bouquin exclusivement consacré au lien entre théorie des groupes et constructions géométriques, malheuresement j'ai complètement oublié le nom de l'auteur, le titre et la maison d'édition. mais si tu es sur Paris il était dispo à la bibliothèque second cycle math de jussieu.

Erik

[inviteab2b41c6]

Il me semble qu'il faut que le polynome soit de degré une puissance de 2, non?

[erik]

Youps,
Effectivement quinto, j'ai dit une connerie, il faut que le polynome soit de degré une puissance de 2, d'ailleurs un autre probleme antique (similaire à la quadrature du cercle) était la duplication du cube (suite à la demande du dieux Appollon d'avoir un trone deux fois plus grand), ce probleme n'est pas non plus résoluble à la règle et au compas, du fait que la racine troisième de 2 (qui n'est pas sol d'un polynome pair) n'est pas tracable à la règle et au compas.

Comme punition, je m'impose dans les plus bref délais la relecture de daphne.math.polytechnique.fr/ ~chambert/teach/algebre.pdf

Erik

[erik]

Je ne sait pas pourquoi j'ai dit "racine troisième" je voulait dire bien sur racine cubique.

[SPH]

Moi qui aime les math et la logique, je veux poser une question pour savoir si j'ai bien compris :

Avec un compas et une regle non graduée, et possédant sur notre papier un petit segment dessiné dont la longueur est "1", on n'arrivera jamais a dessiner un segment représentant dans l'absolu la valeur PI ?

[invite88ef51f0]

Oui, c'est ça... ni (ce qui nous intéresse dans le cas de la quadrature du cercle)

[ClaudeH]

Bonjour
Je vois que tout le monde est d'accord avec l'impossibilité de la quadrature du cercle.

Je suis tombé sur un site ou une personne prétendait le contraire et en faisait la démonstration grace a une science " La Dakhiométrie"

Cette science existe-t-elle? Quelqu'un a-t-il entendu parler de cette nouvelle vision des mathématique.. ?

[Evil.Saien]

Bonjour
Je vois que tout le monde est d'accord avec l'impossibilité de la quadrature du cercle.

Je suis tombé sur un site ou une personne prétendait le contraire et en faisait la démonstration grace a une science " La Dakhiométrie"

Cette science existe-t-elle? Quelqu'un a-t-il entendu parler de cette nouvelle vision des mathématique.. ?

Aurais-tu le lien du site stp ?

[ClaudeH]

dakhi.com/somfr4.htm

[erik]

salut,

Je constate que ce site ennonce :

Le Tout est UN. Vous voulez l'Elargir ? Alors, additionnez Le TOUT avec un autre TOUT ou bien Multipliez Le TOUT avec lui-même. Vous voulez le Réduire ? Alors, soustrayez Le TOUT avec un autre TOUT, ou bien, divisez Le TOUT avec lui-même. Ainsi, ces opérations sont impossible. Car il n'y a q'UN (seul) TOUT, où trouver un autre

Bon clairement ce n'est pas un site qui parle de maths (le TOUT n'est pas un objet mathematique, on peut en parler mais dans ce cas on fait de la métaphysique, de la philo ... ou du n'importe quoi).

Pour en revenir à la quadrature du cercle : La seule chose que disent les maths c'est : Avec juste une règle et un compas, on ne peut pas construire un cercle ayant la même surface qu'un carré qui est deja dessiné sur une feuille.

Maintenant, évidemment si on a un carré de surface n, on peut toujours dessiner à coté un cercle de même surface, il suffit de construire un cercle de rayon racine(n/pi). Ceci un possible à priori, mais pas avec une règle et un compas.

Erik

[invite4793db90]

Salut,

un passage croustillant:

Les valeurs pratiquées pourraient être ainsi :

1) - Précision à 1/1000 : Pi = 3 . 12

2) - Précision à 1/10 000 : Pi = 3 . 12 02
3) - Avec un calculateur :
------- Pi = 3.12 01 93 73 14 31 77 5 ....

On nous aurait menti!

[ClaudeH]

Je reconnais que ce site est un peu méthaphysique.
Mais ce sont plustôt les calculs qui m'intéressent.
Sont-ils vrais, il y-t-il un tricherie quelque part ?

Le faite de rajouter une constance "K" au théo.de Pyt sans le mettre en facteur donne t-il une nouvelle approche des maths?

J'ai quand même récupéré le tracé (Régle compas) de la réciproque de la quadrature du cercle. Ca parrait logique.
Il me semble que si la quadrature d'un cercle est impossible sa réciproque l'est aussi
J'aimerais bien vous le faire partager mais j'ai un .doc et je ne sais pas joindre une pièce sur un post.

amicalement+++

[erik]

Concernant le théoreme de Pythagore,

Y'a que deux possibilités :
1/ soit on annonce que (dans un espace euclidien) dans un triangle rectangle la somme des carrés des cotés formant l'angle droit est égale au carré de l'hypothenus.
2/ soit on raconte n'importe quoi.

Erik

[erik]

Oh, j'avais pas vu sur http://www.dakhi.com/somfr41.htm

²

(le n'est pas une faute de frappe de ma part !)

C'est fou tout de même, des siecles et des siecles que l'on cherche à connaitre Pi avec tout un tas de décimales à l'aide de formules mals foutues et tout. Et hop on s'apperçoit aujourd'hui qu'une ou deux racines de deux et une racine de (2-1) (va pas être trop dur à calculer là) et paf on avait Pi, C'est ballot tout de même d'avoir loupé ça pendant 3000 ans !!!

Erik

[erik]

Par contre on peut noter que si Pi avait effectivement la valeur indiquée par l'autre guedin, il serait possible de tracer un segment de taille Pi (ou donc de taille racine(Pi)) à la règle et au compas. Il n'y a que des racine carré, et une élévation à la puissance deux, donc c'est traçable, C'est bete, c'est pas ça la valeur de Pi !

Erik

[Evil.Saien]

Oh, j'avais pas vu sur http://www.dakhi.com/somfr41.htm

²

(le n'est pas une faute de frappe de ma part !)

C'est fou tout de même, des siecles et des siecles que l'on cherche à connaitre Pi avec tout un tas de décimales à l'aide de formules mals foutues et tout. Et hop on s'apperçoit aujourd'hui qu'une ou deux racines de deux et une racine de (2-1) (va pas être trop dur à calculer là) et paf on avait Pi, C'est ballot tout de même d'avoir loupé ça pendant 3000 ans !!!

Erik

Pi = 5.532814024... !!
Argh !

[SPH]

Je vais vous étonner mais je pense qu'il est possible de trouver PI a l'aide d'un compas et d'une regle non graduée. J'ai une théorie la dessus.
Mais avant, il y a une terrible impossibilité que vous ne semblez pas voir. Comment voulez vous trouver et quantifier la valeur réelle de PI (avec sa virgule complete) avec des instruments qui tracent des traits, des courbes et des points qui ont une "largeur" ??
Si vous ne comprenez pas, faites un point sur une feuille et prenez une loupe. Vous verrez que ce point devient une zone ou se regroupent des points; ces points etant eux meme de vastes zones de points, etc....
Si donc vous voulez trouver la valeur EXACTE de PI, c'est un travail perdu d'avance. Mais si vous voulez trouver PI=3.1415, c'est possible.

[SPH]

Pour en revenir à la quadrature du cercle : La seule chose que disent les maths c'est :

C'est une pensée réductrice...
Les maths disent, parce qu'on leur a dit de dire.
Et si on n'avait pas fini d'enseigner aux maths, les mathématiques ?

[invite88ef51f0]

Oui, mais Pi n'est pas égal 3.14159255358979. Aussi précise sera la valeur que tu trouveras, ça ne sera pas Pi mais une approximation rationnelle (et les rationnels sont algébriques donc constructibles)

[erik]

Comment voulez vous trouver et quantifier la valeur réelle de PI (avec sa virgule complete) avec des instruments qui tracent des traits, des courbes et des points qui ont une "largeur"

Quand on parle de construction à la règle et au compas on parle de géométrie, donc de constructions idéales, où les points et les courbes n'ont pas de largeur.
Quand aux nombres illimité de décimales de Pi, ce n'es pas là que ce situe le probleme. Par exemple racine(2) a égallement "un nombre illimité de décimales" pourtant il est traçable (au sens mathematique/géométrique du terme) à la règle et au compas (c'est la diagonale d'un carré de coté 1).
Pi n'est pas "tracable" car c'est un nombre transcendant !

Erik