reseau d' ev , modules

[invite3f5489ea]

Bonjour,
Je bloque sur la première question d'un exercice....
Voici l'enoncé:
Soit Rn l'espace vectoriel reel de dimansion n muni du produit scalaire noté ( , ).
Un reseau de Rn est un sous Z-module libre ayant pour base une R-base de Rn. ( Z = entiers relatifs et R= réels)

Soit M un reseau de Rn, de base (f1,f2,....,fn). On note M' l'ensemble des vecteurs x de Rn tels que (x,y) soit un entier pour tout y de M.

la question est : Montrer qu'il existe une unique base (f1',f2',...,fn') telle que ( fi' , fj ) = 0 si i different de j et 1 sinon.

Merci d'avance pour vos réponses
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

Soit Rn l'espace vectoriel reel de dimansion n muni du produit scalaire noté ( , ).

Je préfèrerais "muni d'un produit scalaire"...

Montrer qu'il existe une unique base (f1',f2',...,fn') telle que ( fi' , fj ) = 0 si i different de j et 1 sinon.

Il pourrait être utile de considérer la base duale de .

[invite3f5489ea]

désolée mais je ne vois pas ou tu veux en venir...

[invite57a1e779]

Si est la base duale de , alors ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3f5489ea]

Ok merci je vois.
Est-ce qu'on peut aussi répondre à cette question en utilisant le théorème de la "base adaptée" vu que M est un sous Z-module de Rn ?

[invite57a1e779]

Soit M un reseau de Rn, de base (f1,f2,....,fn). On note M' l'ensemble des vecteurs x de Rn tels que (x,y) soit un entier pour tout y de M.

la question est : Montrer qu'il existe une unique base (f1',f2',...,fn') telle que ( fi' , fj ) = 0 si i different de j et 1 sinon.

Dans la question, le mot "base" est-il une abréviation de :
– base de ?
– base du -module ?
– base du -module ?

[invite3f5489ea]

c'est base de Rn

[invite57a1e779]

Je ne pense donc pas qu'il y ait lieu de faire intervenir le réseau M engendré par la base .

[invite3f5489ea]

ok, merci pour cette précision. c'est vrai qu'avec la base duale on a la réponse de suite.
Mais comment peut-on en deduire que M' est le reseau de base cette base duale ? Je ne vois pas vraiment comment faire avec le produit scalaire de Rn qui n'est pas bien determiné, c'est un peu flou pour moi....

[invite57a1e779]

Il me semble que les f'i sont éléments de M'. Il reste à montrer qu'ils engendrent M'.
Il ne devrait pas être difficile de déterminer (par dualité, on y revient...) la décomposition d'un élément de M' sur les f'i.

[invite3f5489ea]

Bonjour,
est ce que peux quand meme dire qu'en tant que sous Z module libre de Rn, la base (f1,....,fn) depend de (e1,....,en) (qui est la base canonique de Rn) tel que il existe des ai > 0 et (a1e1,....,anen) = (f1,...,fn) avec ai divisant ai+1 ?
Dans ce cas on en deduirait la base (f1',.....,fn') et tout le reste plus explicitement non?

[invite57a1e779]

Un reseau de Rn est un sous Z-module libre ayant pour base une R-base de Rn. ( Z = entiers relatifs et R= réels)

Soit M un reseau de Rn, de base (f1,f2,....,fn).

Cette définition ne pose aucune condition sur . Tu ne pourras jamais démontrer que l'on a une forme .

Place toi dans avec le réseau de base et , et parle-moi de cette base adaptée.

[invite3f5489ea]

Bonjour,
oui merci effectivement , je m'en suis rendue compte peu après t'avoir écris ce message
Pour prouver que M' est le reseau de base cette base duale, il est
assez clair que les vecteurs de la base duale appartiennent à M' mais pour montrer que chaque vecteur de M' est engendré par les vecteurs de la base duale, je prend x de Rn , y de M , x= x1e1 +....+xnen (xi dans R et (e1,....,en) base canonique de Rn)
y = z1f1+.....+znfn (zi dans Z)
x appartient à M' implique que <x,y> = <(x1e1+....xnen) , (z1f1+.....+znfn)> appartient à Z mais est ce qu'on peut en deduire directement que x est engendré par (f1',...,fn') ?
Merci.

[invite57a1e779]

Les bases et de sont duales.
Tout vecteur se décompose sous la forme , en particulier si ...