petit exercice topologie produit

[invite6a14b6d0]

on se done un espace topologique E
montrons que
E est séparé ssi {(x,x);x appartient E} est un fermé de E
bonne chance
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[invite769a1844]

Bonjour,

on note la diagonale de ,

pour le sens direct, si est séparé, pour montrer que est fermé,
il suffit de montrer que est ouvert (ie voisinage de chacun de ses points).
On considère alors un point , comme est séparé, il existe des ouverts disjoints et tels que et .
On a bien donc est ouvert.

Pour la réciproque tu peux essayer par contraposée, supposes que n'est pas séparé, et essaies de montrer que .

[invite57a1e779]

il suffit de montrer que est ouvert
On considère alors un point , comme est séparé, il existe des ouverts disjoints et tels que et .
On a bien donc est ouvert.

Les voisinages et sont des parties de , donc aussi, et ne saurait donc être inclus dans qui est une partie de (en fait si parce que ...).

C'est en fait

[invite769a1844]

Les voisinages et sont des parties de , donc aussi, et ne saurait donc être inclus dans qui est une partie de .

C'est en fait

désolé une coquille

[A voir en vidéo sur Futura]