Topologie produit : une démonstration

[erff]

Bonsoir !

Je cherche la démo d'un résultat que je viens de lire : quelqu'un pourrait-il m'aider (ou me donner un lien car j'en ai pas trouvé)

- une famille dénombrable d'espaces métriques

Montrer que la topologie produit : est métrisable

(Apparemment, on s'en sort en considérant

J'ai trouvé la preuve de ce résultat pour une famille finie d'espace topologique : on considérait la distance et on montrait que les projections sont continues, donc que identité est continue car lipschitzienne

Ici, je ne vois pas pourquoi on ne peut pas prendre le sup des distance plutot que cette formule presque immonde, et d'ailleurs, je ne vois pas comment prouver que les 2 topologies (produit et distance) sont aussi fines l'une que l'autre.


Merci !!!
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[invite769a1844]

Bonsoir,

si on prenait sur , , rien ne nous dit alors que .

(prends par exemple avec pour tout ).

Déja pour montrer que la topologie sur est moins fine que celle induite par la distance , on peut montrer que les projections sont continues.
Comme la topologie produit est la plus fine ayant cette propriété, on en déduit qu'elle est incluse dans la topologie induite par la métrique .

Pour l'inclusion réciproque, je pense qu'on peut essayer de montrer que toute boule ouverte de est ouverte pour la topo produit. On se fixe une telle boule , et on montre qu'elle est un voisinage de chacun de ses points pour la topo produit. A voir.

[invite4ef352d8]

Salut !

Il y a de très nombreuse disantes qui définissent la topologie produit dans le cas d'un produit dénombrables.

Si tu veux utiliser des sup il y a classiquement la distance suivante :

d(x,y) = Sup (Min (dk(xk,yk), 1/k) )


(on peut rempalcer 1/k par n'importe quoi qui tend vers 0...)

en revanche (par exemple) la distance d(x,y) = Sup (Min (dk(xk,yk), 1) ) ne convient pas car en topologie produit la suite X0 = (a,a,a,a...), X1=(b,a,a,a...), X2=(b,b,a,a,a...), X3=(b,b,b,a,a,...) etc... converge vers (b,b,b,b,b... ), alors que pour la distance reste constante égal à min(1,d(a,b) ) avec d(x,y) = Sup (Min (dk(xk,yk), 1) ).

et Sup dk(xk,yk) ne marche pas tous simplement parcequ'elle n'est pas bien définit (le sup à aucune raison d'être finit...)

Hontement on se fiche royalement de l'expression de la distance produit :ce qui est important c'est que l'espace produit est métrisable (si et seulement si le produit est dénombrable en fait...). vouloir le métriser dans le cas général n'as aucun interet (en pratique il pourra éxister une certain distance plus intérressante que les autres dont l'expression n'aura rien à avoir avec la somme que tu donne...)

[erff]

Bonsoir

Justement, je cherchais juste à montrer que la topologie produit dénombrable d'ensembles métrisables est métrisable.
Dans le cours que je lis, on dit qu'on peut le prouver en utilisant la formule que j'ai donné.
Si on me donne une preuve qui n'utilise pas l'expression d'une distance, alors ça me convient tout aussi bien.

@rhomuald :
Je connais bien la "stratégie" de preuve (car juste au dessus, j'ai la preuve détaillée dans le cas d'un produit fini d'ensembles). Je ne vois pas comment l'adapter à un produit dénombrable.

Merci à vous

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

pour montrer que les sont continues, ça doit pouvoir se faire en utilisant les boules ouvertes et en utilisant le fait que pour tout , les distances et sont équivalentes.

or pour tout et pour tout , on a

, et tous les éléments de sont projetés dans , d'où la continuité de .

[invite4ef352d8]

Ok.

Dans un produit dénombrables, la topologie produit est à base dénombrables d'ouvert, il suffit donc de montrer que les deux topologies définissent la meme notions de convergence.

Notation : Un est une suite de point du produit, Unk désigne la k-iemme composante du n-iemme terme de la suite...

La notion de convergence associé à la topologie produit est la convergence simple, c'est à dire : Un->U si et seulement si pour tous k, Unk -> Uk

(c'est point sont relativement élementaire à partir de la définition de topologie produit... mais ca dépend de beaucoup de comment tu la définit...)

à partir de la c'est assez automatique.

Soit Un une suite suite qui tend vers U au sens de la distance précedentes.
soit k un enter fixé, d(Un,U)<1/k à partir d'un certain rang, donc Min(1/k,dk(Unk,Uk))<d(Un,U)<1/k, et donc dk(Unk,Uk) < d(Un,U) ->0, ce qui implique que Un tend vers U simplement.

réciproquement, Soit Un une suite qui tend simplement vers U. et soit e un réel >0, il existe un entier K telle que 1/K<e, et il existe un entier N telle que pour tous n>N, et pour k<K dk(Unk,Uk)<e
(il n'y a qu'un nombre finit de k<K, et pour chaque k dk(Unk,Uk)->0 par hypothèse...)

donc il existe un entier N telle que pour tous n>N. d(Un,U)< e
(la déniere inégalité s'obitens en majorant tous les termes du Sup selon que k>K ou k<K....)


La démonstration n'est pas très différente si tu prend à la place l'expression sous forme de somme...

[invite769a1844]

Pour montrer que est voisinage de chacun de ses points pour la topologie produit, on considère , qui est ouverte pour ,

donc il existe tel que .

On peut ensuite montrer que l'ouvert (pour la topo produit) contient et est contenu dans , donc dans .

[invite769a1844]

ah non en fait ça convient pas, B n'est pas forcément un ouvert.

[invite4ef352d8]

Errata :

J'ai dit "à base dénombrables d'ouvert", mais je voulais dire "admet des système fondamentaux de voisinage dénombrables"

[erff]

Merci à vous pour ces précisions, je regarde ça en détail plus tard (je suis en stage )

Cordialement