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Produit cartésien et démonstration



  1. #1
    Brumaire

    Produit cartésien et démonstration


    ------

    Bonsoir,

    Je n'ai pas de démonstration dans mon cours de la propriété suivante:

    Soit A, B, C et D quatres ensembles,

    (A X C) inter (B X D) = (A inter B) X ( C inter B)

    (X signifie ici produit cartésien)

    Je ne vois pas du tout comment débuter la démonstration. De plus, le fait qu'il y ait un produit cartésien me gène pour formaliser avec ces histoires de couples. Quelqu'un pourrait-il me donner un truc? une idée?

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    shokin
    Modérateur

    Re : Produit cartésien et démonstration

    Ce serait pas plutôt : ?

    (A X C) inter (B X D) = (A inter B) X ( C inter D)

    Intuitivement, je vois cela comme une évidence.

    Sinon :

    le produit cartésien n'est pas commutatif

    si (P inclus dans Q et Q inclus dans P), alors P = Q

    les éléments de A et de B ne peuvent se trouver que comme premier membre du couple. Les éléments de C et de D ne peuvent se trouver que comme deuxième membre du couple. (c'est "un peu comme si" A et C par exemple étaient disjoints entre eux)

    S'il existe une intersection entre deux produits cartésiens, c'est qu'il existe une intersection entre les "premiers ensembles", ainsi qu'entre les "deuxièmes ensembles" (C et D) du couple.

    Si l'intersection de deux ensembles est ensemble vide, l'intersection de deux produits cartésiens dont les deux ensembles en question sont correspondants sera aussi ensemble vide.

    Tu as assez de pistes, non ?

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  4. #3
    Brumaire

    Re : Produit cartésien et démonstration

    tu veux faire une démonstration par l'absurde? Je ne suis pas très bien le raisonnement...

    on aurait au départ {(Xa, Xc)} inter {(Xb, Xd)}

    et après tu dis que si l'intersection de {(Xa, Xb)} inter {(Xc, Xd)} existe, alors (A union B) inter (C union B) différente de l'ensemble vide???

    Ou pour l'intersection de deux produits cartésiens, seraient le couple (l'intersection des premiers termes des deux produits cartésiens; l'intersection des derniers termes des deux produits cartésiens), on aurait alors
    {(Xa, Xc)} inter {(Xb, Xd)} = {((Xa inter Xb);(Xc inter Xd))}
    donc cela revient à dire {(A inter B) X (C inter D)}
    Mais je trouve ca alors trop simple et j'ai l'impression d'avoir plus montré que démontré.

    Je me pose aussi une autre question : qu'en est-il pour l'union (A X C) U (B X D)? On ne doit pas pouvoir dire que c'est égal à (A U B) X (C U D)?

  5. #4
    shokin
    Modérateur

    Re : Produit cartésien et démonstration

    Citation Envoyé par Brumaire
    tu veux faire une démonstration par l'absurde? Je ne suis pas très bien le raisonnement...

    on aurait au départ {(Xa, Xc)} inter {(Xb, Xd)}

    et après tu dis que si l'intersection de {(Xa, Xb)} inter {(Xc, Xd)} existe, alors (A union B) inter (C union B) différente de l'ensemble vide???
    Je n'ai rien démontré, juste donné quelques pistes.

    Citation Envoyé par Brumaire
    Je me pose aussi une autre question : qu'en est-il pour l'union (A X C) U (B X D)? On ne doit pas pouvoir dire que c'est égal à (A U B) X (C U D)?
    Pourquoi pas ? ça me semble aussi vrai pourtant.



    Soit (x;y) un couple.

    1. Tu pars du principe que (x;y) est compris dans (A X C) n (B X D).

    Cela signifie que (x;y) est compris dans les couples (a;c) et dans les couples (b;d) càd qu'il existe une intersection entre les deux produits cartésiens.

    Par définition (x;y) élément de (A;C) signifie que x et élément de A et y élément de C. De même de par définition, x est élément de B et y est élément de D.

    Tu as donc ((x est élément de A) n (y est élément de C)) n ((x est élément de B) n (y est élément de D)).

    Comme l'intersection est associative,

    (x est élément de A) n (y est élément de C) n (x est élément de B) n (y est élément de D).

    Comme l'intersection est commutative,

    (x est élément de A) n (x est élément de B) n (y est élément de C) n (y est élément de D).

    Comme l'intersection est associative,

    ((x est élément de A) n (x est élément de B)) n ((y est élément de C) n (y est élément de D)).

    De par définition, si x est élément de A ET si x est élément de B, alors x est élément de (A n B). Donc,

    (x est élément de A n B) n (y est élément de C n D)

    On a donc démontré l'inclusion dans un sens.

    2. Reste à démontrer l'inclusion de manière similaire mais dans l'autre sens.

    3. Comme P inclus dans Q et Q inclus dans P, alors P=Q.

    CQFD.

    De manière similaire, tu démontrer la même chose avec la réunion.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  6. #5
    penelope

    Re : Produit cartésien et démonstration

    Citation Envoyé par Brumaire

    Je me pose aussi une autre question : qu'en est-il pour l'union (A X C) U (B X D)? On ne doit pas pouvoir dire que c'est égal à (A U B) X (C U D)?
    non la réunion ne marche pas..
    si le couple (x,y) appartient à (AuB)x(CuD), on a alors x appartient à AuB et y appartient à CuD..on peut donc avoir (x,y) appartenant à BxC.....
    si par ex A et C sont disjoints, et B et D disjoints, alors (x,y) ne pourra être ni dans AxC, ni dans BxD...
    un doigt pointe vers la lune, tant pis pour celui qui regarde le doigt..

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Brumaire

    Re : Produit cartésien et démonstration

    je suis parvenue au même résultat en essayant de faire la démonstration

  9. Publicité
  10. #7
    gilllloux

    Re : Produit cartésien et démonstration

    (A*C) = { (x,y) , x appartient à A et y appartient à C }
    (B*D) = { (x,y) , x appartient à B et y appartient à D }

    (A*C) inter (B*D) = { (x,y) , (x,y) appartient à (A*C) et
    (x,y) appartient à (B*D) }

    = { (x,y) , x appartient à A et y appartient à C et
    x appartient à B et y appartient à D }

    = { (x,y) , x appartient à A et B et y appartient à C et D }

    = { (x,y) , x appartient à (A inter B) et y appartient à (C inter D) }

    = (A inter B) * (C inter D)

  11. #8
    Quinto

    Re : Produit cartésien et démonstration

    C'est assez évident en fait, il suffit juste de voir ce qui se passe.
    Un element de AxC est un element (u,v) ou u est dans A et v est dans C.
    Un element de BxD est un element (u,v) ou u est dans B et v est dans D.

    Si on fait l'intersection des des on trouve que u est dans A et dans B et que v est dans C et dans D. donc (u,v) dans (AinterB x CinterD)

    La on a montré une inclusion, il suffit de montrer l'autre de la meme maniere.

  12. #9
    gilllloux

    Re : Produit cartésien et démonstration

    En appliquant les définitions de l'intersection :

    F inter G = { x , x appartient à F et x appartient à G }

    et du produit cartésien :

    F*G = { (x,y) , x appartient à F et y appartient à G) }

    on trouve directement l'égalité des 2 ensembles.

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