congruence

[invitea89b71bb]

Soient x,y et z trois entiers relatifs tels que :

x2 + y2 = z2 (le 2 signifie "au carré")

Démontrer que :
1° x ou y est un multiple de 3
2° x ou y est unmultiple de 4
3° x, y ou z est un multiple de 5

Merci de votre réponse.
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[invite88ef51f0]

De rien...

[shokin]

On peut quand même y apporter une réponse ? avec la relation de congruence.

z^2=z*z

Pour la congruence modulo 3, x ne peut appartenir qu'à 3 classes, 0, 1, ou 2.

Si x C 0 mod 3, x^2 C 0 mod 3

Si x C 1 mod 3, x^2 C 1 mod 3

Si x C 2 mod 3, x^2 C1 mod 3.

Donc x^2 C 1 mod 3 ou x^2 C 0 mod 3.

Mais si x^2 C 1 et y^2 C 1, , z^2 C 2 mod 3, ce qui n'est pas possible car z^2 est le carré d'un entier.

Donc (x^2 ou y^2) 0 mod 3 donc (x ou y) C 0 mod 3, donc x ou y est multiple de 3.



x^2+y^2=z^2

Si x C 0 mod 4, x^2 C 0 mod 4.
Si x C 1 mod 4, x^2 C 1 mod 4.
Si x C 2 mod 4, x^2 C 0 mod 4.
Si x C 3 mod 4, x^2 C 1 mod 4.

Si tu additionnes x^2 et y^2, tu vois que au moins un des deux est multiple de 4 (résonnement similaire au précédent).

Si x C 0 mod 5, x^2...
Si x C 1 mod 5, x^2...
...

idem quoi !

Shokin

[invitea89b71bb]

merci beaucoup de ton aide

soleil

[A voir en vidéo sur Futura]

[leg]

Soient x,y et z trois entiers relatifs tels que :

x2 + y2 = z2 (le 2 signifie "au carré")

Démontrer que :
1° x ou y est un multiple de 3
2° x ou y est unmultiple de 4
3° x, y ou z est un multiple de 5

Merci de votre réponse.

Bonjour, je ne comprends pas le but de cette question ?
Car à l’évidence x ou z sont multiples de 3 ou 5, que dans certains cas.
X = p² - q² , Z = p² + q² et Y = 2pq donc pair, p et q par définition sont deux entiers naturels de parités différente .
Il est évident que quelque soit un nombre pair = (pq) que multiplie 2 est un multiple de 4, soit Y et pour p et q quelconque ! Par ex : p =2 et q =1
D’où X = 3 et bien sur quelque soit un facteur K entier naturel, et tel que :
X = K (p² - q²) alors X sera toujours multiple de 3 tout comme Z sera multiple de 5 pour Z = K (p² + q²). « p et q restant invariable bien sur ».
Mais si p = 6 et q = 5 alors x et z sont deux nombres premiers pour :
X = p² - q² = 11 et Z = p² + q² = 61 et bien sur Y et multiple de 4… !
Si A et B sont deux nombres premier > 5 il est tout aussi évident que X = (A B) sera congrue P (30) donc il ne sera jamais multiple de 3 ou 5 il n’y en a pas dans l’ensemble P(30), Où Y = (A² - B²) / 2 sera toujours multiple de 3 et de 4 et Z = (A² + B²) / 2 sera congrue uniquement : 1, 19 ou 25 (30) , par conséquent il ne pourra être multiple de 5 que dans le cas ou il est congrue 25 (30) ! [« Ce qui est l’origine du crible quadratique de P de Fermat avec ses triplets Pythagoriciens afin de rechercher les deux facteur premiers de X en trouvant p et q, puisque :
p – q = A et p + q = B...etc »]
Salut leg.

[inviteab2b41c6]

Par convention on pose que x est impair et y pair (on montre facilement que l'un est toujours pair et l'autre toujours impair)

Dans ce cas on a toujours les propriétés souhaitées, et pas uniquement dans certains cas...