lien entre convergence et continuité

[invite9fc497b1]

Bonjour,

J'ai un exercice ou l'on ne me demande que "Quel est le lien entre la continuité d'une fonction et la convergence d'une suite? démontrer le."

Donc si mes connaissances mathématiques sont (un peu bonne), on a:

Si f: A--> R est continue en l appartenant à A, alors si (u_n) est une suite de A de limite l on a : lim f(u_n) quand n tend vers + l'infini = f(l)

Mais je n'arrive pas a faire le lien entre la definition de continuité et de convergence pour faire la démonstration.

Pouvez vous m'aider ?

Merci d'avance
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[invite8b6c7fe1]

Déjà pour le lien dans ce sens tu as raisons. N'oublie pas l'autre qui dit que:
si pour toute suite convergent vers l on f(suite) converge vers f(l), alors la fonction f est continue en l.
Pour montrer ton sens, c'est classique:
tu pose epsilon positif et tu veux montrer que pour n "assez grand" on a: |f(l)-f(un)|<epsilon. Mais tu as par définition un delta tel que si un point est proche de l à delta près alors son image est à epsilon près celle de l. Pour conclure il faut juste dire que comme un tend vers l tout les termes de la suites sont proches de l à delta près à partir d'un certain rang.
Ce n'est peut être pas très clair mais c'est l'idée.

[MMu]

Supposons par ex. le cas des espaces métriques.

est continue en :

Soit qui converge vers :

Il s'ensuit : , d'où la convergence de .