Bonsoir,
j'ai un exercice à faire
énoncé : Une fonction qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires sur un intervalle I est-elle continue sur I ?
pour moi, il suffit de dire que pour que le theoreme des valeurs intermediaires soit verifie sur I, il faut que la fonction soit continue sur I
je trouve ça un peu trop simple et j'aimerai savoir si c'est exactement ça la réponse
Merci d'avance
Bonjour,
Effectivement ce serait trop simple, parce qu'il suffit effectivement de dire que pour que le theoreme des valeurs intermediaires soit verifie sur I, il faut que la fonction soit continue sur I.Envoyé par Popo037
Seulement, ce qui est connu c'est que pour que le theoreme des valeurs intermediaires soit verifie sur I, il suffit que la fonction soit continue sur I, et que ce n'est pas ce qui nous intéresse.
Un petit exemple : on définit une fonctionsur
Est-elle continue ?
Satisfait-elle le théorème des valeurs intermédiaires sur
quelle genre de reponse est demandee dans ce cas ?
personne ?
La réponse à la question "une fonction qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires sur un intervalle I est-elle continue sur I ?" est ="p't-êt' bin qu'oui, p't-pt' bin qu'non !"
Une fonction telle que le sinus possède la propriété des valeurs intermédiaires sur I=[1,1], et est continue sur I.
La fonction que j'ai définie dans mon message #2 possède la propriété des valeurs intermédiaires sur I=[1,1], et n'est pas continue sur I.
si la réponse est oui, une démonstration, si la réponse est non, un contre-exemple.
si je mets un contre exemple et que je montre qu'elle verifie le theoreme des valeurs intermediaires et qu'elle n'est pas continue
ça ne suffira pas pour répondre a la question ?
il faut aussi que je fasse une demonstration ?
je ne peux pas faire une demonstration alors que ce n'est pas forcement le cas qu'une fonction verifiant le theoreme des valeurs intermediaires et continue
Il suffit simplement que je mette un contre exemple et que je montre qu'elle n'est pas continue, non ?
Oui, le contre-exemple prouve que le résultat envisagé est faux donc il n'y a pas de démonstration à faire.
j'ai répondu à la question :
non
cex : I=[-1,1]
f(x)=sin(1/x) pour x diff de 0
f(0)=0
f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires sur I=[-1,1]
mais n'est pas continue sur I car lim de f(x) =lim (1/x) x ((sin(1/x)) /(1/x)) = + infini
qd x tend vers 0
lim (sin(1/x))/(1/x) = 1
qd x tend vers 0
f(x) ne tend pas vers f(0) donc f n'est pas continue en 0
Tel que je comprends le français : en considérant la fonction sinus, ou la fonction exponentielle, je trouve des cas pour lesquels l'assertion "cette fonction, qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires sur cet intervalle I, est continue sur I" est vraie.
Je ne peux donc pas répondre "NON" à la question posée.
Tu en es certain ??
Il me semble que
j'ai tout rectifié
Une fonction qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires sur un intervalle est-ellle continue sur I ?
ce n'est pas toujours le cas :
- cas ou la fonction verifie la propriété des valeurs intermédiaires sur I et n'est pas continue sur I
f(x) = sin(1/x) si x diff de 0
0 si x=0
f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires sur [-1,1]
L'image par une application continue d'un intervalle est intervalle
sin(1/x):[-pi/2,pi/2]dans[-1,1]
limite indéterminée
f(x) ne tend pas vers f(0) donc f n'est pas continue en 0
-cas ou la fonction verifie la propriété des valeurs intermédiaires et est continue
on considère la fonction sinus ou exponentielle et on remarque que dans ce cas la fonction vérifie la propriété des valeurs intermédiaires sur I et est continue sur I
