Oh ! encore un peu de topologie (checking)

[invite1237a629]

J'aurais besoin d'un petit avis !

X est un espace topologique qui contient au moins un élément. est fixé. On définit les ouverts de la topologie comme étant :
-
-

On a montré que l'espace est séparé.

Maintenant, la question est : est-il compact ? C'est-à-dire existe-t-il un recouvrement fini de X ?

Bah la réponse est venue assez rapidement en fait, donc c'est pour ça qu'il y a un doute

On prend un ouvert du type B, c'est-à-dire une partie de X qui contient et dont le complémentaire est fini.
Son complémentaire ne contient donc pas et est une partie de X. Donc il fait partie du type A. C'est donc un ouvert lui aussi.

Leur réunion forme X tout entier. Alors ça y est, on a trouvé le recouvrement fini de X ?

Ah, je viens d'y penser... Il faut prouver que pour tout recouvrement quelconque d'un espace topologique, on peut trouver un recouvrement fini ? Le problème est-il là ?


Pouh ! Mici d'avance
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[invite57a1e779]

Oui, il faut partir d'un recouvrement quelconque, et en extraire un sous-recouvrement fini, ce qui n'est pas très difficile pour cette topologie.

[invite1237a629]

Oui, il faut partir d'un recouvrement quelconque, et en extraire un sous-recouvrement fini, ce qui n'est pas très difficile pour cette topologie.

Intuitivement, il n'y a aucun problème !
Mais tout de même, je pense grandement manquer de méthode, car je ne vois pas comment le montrer explicitement

My two cents :
Une réunion d'ouverts du type A ne peut pas être un recouvrement puisqu'il ne contiendrait pas
Donc il y a forcément un ouvert du type B dans tout recouvrement de X.
Son complémentaire est fini.
Comme il s'agit d'un recouvrement, ce complémentaire fini doit être inclus dans ce recouvrement. Donc en plus de B, il y a au plus une réunion finie d'ouverts (finis) !
Ça nous donne donc une réunion finie d'ouverts, qui recouvrent X.


Est-ce correct ? Si oui, serait-ce possible d'avoir une version plus "formelle" de la preuve ? Ou bien est-ce que cela suffit ?

Merci encore =)

[invite57a1e779]

Une réunion d'ouverts du type A ne peut pas être un recouvrement puisqu'il ne contiendrait pas
Donc il y a forcément un ouvert du type B dans tout recouvrement de X.
Son complémentaire est fini.

Et chacun des points de ce complémentaire est recouvert par un ouvert, il suffit donc d'un nombre fini d'ouverts pour le recouvrir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Et chacun des points de ce complémentaire est recouvert par un ouvert, il suffit donc d'un nombre fini d'ouverts pour le recouvrir.

Ah mais oui chuis bête -___-

en plus, l'énoncé initial disait que tout singleton {y} avec y différent de x_0 est un ouvert... , ce qui n'a en fait pas de rapport avec ce que tu dis... Bref, je crois comprendre xD

Donc pas besoin de sortir l'attirail des formules ?

Merci !

[invite57a1e779]

n plus, l'énoncé initial disait que tout singleton {y} avec y différent de x_0 est un ouvert...

Attention, tu ne peux pas utiliser les singletons {y} pour recouvrir le complémentaire de B. Tu n'as droit qu'aux ouverts du recouvrement initial.

[invite1237a629]

Attention, tu ne peux pas utiliser les singletons {y} pour recouvrir le complémentaire de B. Tu n'as droit qu'aux ouverts du recouvrement initial.

Oui, je m'en suis aperçue j'ai édité

[invite57a1e779]

Oui, je m'en suis aperçue j'ai édité

Non : tu disposes d'un recouvrement quelconque .
Tout d'abord, appartient à un des ouverts du recouvrement, que l'on notera ; c'est un ouvert du type . Son complémentaire est fini, et tout point de ce complémentaire appartient à l'un des ouverts du recouvrement, que l'on notera ; ce peut être un ouvert du type ou du type , c'est indifférent et il n'y a aucun moyen de le savoir.
Toujours est-il que et la famille constituent un recouvrement fini, extrait de .

[invite1237a629]

Non : tu disposes d'un recouvrement quelconque .
Tout d'abord, appartient à un des ouverts du recouvrement, que l'on notera ; c'est un ouvert du type . Son complémentaire est fini, et tout point de ce complémentaire appartient à l'un des ouverts du recouvrement, que l'on notera ; ce peut être un ouvert du type ou du type , c'est indifférent et il n'y a aucun moyen de le savoir.
Toujours est-il que et la famille constituent un recouvrement fini, extrait de .

C'est parfaitement clair

Ah la la, je ne sais pas comment te remercier...