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Oh ! encore un peu de topologie (checking)



  1. #1
    MiMoiMolette

    Oh ! encore un peu de topologie (checking)


    ------



    J'aurais besoin d'un petit avis !

    X est un espace topologique qui contient au moins un élément. est fixé. On définit les ouverts de la topologie comme étant :
    -
    -

    On a montré que l'espace est séparé.

    Maintenant, la question est : est-il compact ? C'est-à-dire existe-t-il un recouvrement fini de X ?

    Bah la réponse est venue assez rapidement en fait, donc c'est pour ça qu'il y a un doute

    On prend un ouvert du type B, c'est-à-dire une partie de X qui contient et dont le complémentaire est fini.
    Son complémentaire ne contient donc pas et est une partie de X. Donc il fait partie du type A. C'est donc un ouvert lui aussi.

    Leur réunion forme X tout entier. Alors ça y est, on a trouvé le recouvrement fini de X ?

    Ah, je viens d'y penser... Il faut prouver que pour tout recouvrement quelconque d'un espace topologique, on peut trouver un recouvrement fini ? Le problème est-il là ?


    Pouh ! Mici d'avance

    -----
    Dernière modification par MiMoiMolette ; 06/10/2008 à 21h47. Motif: réponse, pas question
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

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  3. #2
    God's Breath

    Re : Oh ! encore un peu de topologie (checking)

    Oui, il faut partir d'un recouvrement quelconque, et en extraire un sous-recouvrement fini, ce qui n'est pas très difficile pour cette topologie.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    MiMoiMolette

    Re : Oh ! encore un peu de topologie (checking)

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Oui, il faut partir d'un recouvrement quelconque, et en extraire un sous-recouvrement fini, ce qui n'est pas très difficile pour cette topologie.
    Intuitivement, il n'y a aucun problème !
    Mais tout de même, je pense grandement manquer de méthode, car je ne vois pas comment le montrer explicitement

    My two cents :
    Une réunion d'ouverts du type A ne peut pas être un recouvrement puisqu'il ne contiendrait pas
    Donc il y a forcément un ouvert du type B dans tout recouvrement de X.
    Son complémentaire est fini.
    Comme il s'agit d'un recouvrement, ce complémentaire fini doit être inclus dans ce recouvrement. Donc en plus de B, il y a au plus une réunion finie d'ouverts (finis) !
    Ça nous donne donc une réunion finie d'ouverts, qui recouvrent X.


    Est-ce correct ? Si oui, serait-ce possible d'avoir une version plus "formelle" de la preuve ? Ou bien est-ce que cela suffit ?

    Merci encore =)
    Dernière modification par MiMoiMolette ; 06/10/2008 à 21h32.
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  5. #4
    God's Breath

    Re : Oh ! encore un peu de topologie (checking)

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Une réunion d'ouverts du type A ne peut pas être un recouvrement puisqu'il ne contiendrait pas
    Donc il y a forcément un ouvert du type B dans tout recouvrement de X.
    Son complémentaire est fini.
    Et chacun des points de ce complémentaire est recouvert par un ouvert, il suffit donc d'un nombre fini d'ouverts pour le recouvrir.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    MiMoiMolette

    Re : Oh ! encore un peu de topologie (checking)

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Et chacun des points de ce complémentaire est recouvert par un ouvert, il suffit donc d'un nombre fini d'ouverts pour le recouvrir.
    Ah mais oui chuis bête -___-

    en plus, l'énoncé initial disait que tout singleton {y} avec y différent de x_0 est un ouvert... , ce qui n'a en fait pas de rapport avec ce que tu dis... Bref, je crois comprendre xD

    Donc pas besoin de sortir l'attirail des formules ?

    Merci !
    - Je peux pas, j'ai cours
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  8. #6
    God's Breath

    Re : Oh ! encore un peu de topologie (checking)

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    n plus, l'énoncé initial disait que tout singleton {y} avec y différent de x_0 est un ouvert...
    Attention, tu ne peux pas utiliser les singletons {y} pour recouvrir le complémentaire de B. Tu n'as droit qu'aux ouverts du recouvrement initial.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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  10. #7
    MiMoiMolette

    Re : Oh ! encore un peu de topologie (checking)

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Attention, tu ne peux pas utiliser les singletons {y} pour recouvrir le complémentaire de B. Tu n'as droit qu'aux ouverts du recouvrement initial.
    Oui, je m'en suis aperçue j'ai édité
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  11. #8
    God's Breath

    Re : Oh ! encore un peu de topologie (checking)

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Oui, je m'en suis aperçue j'ai édité
    Non : tu disposes d'un recouvrement quelconque .
    Tout d'abord, appartient à un des ouverts du recouvrement, que l'on notera ; c'est un ouvert du type . Son complémentaire est fini, et tout point de ce complémentaire appartient à l'un des ouverts du recouvrement, que l'on notera ; ce peut être un ouvert du type ou du type , c'est indifférent et il n'y a aucun moyen de le savoir.
    Toujours est-il que et la famille constituent un recouvrement fini, extrait de .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  12. #9
    MiMoiMolette

    Re : Oh ! encore un peu de topologie (checking)

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Non : tu disposes d'un recouvrement quelconque .
    Tout d'abord, appartient à un des ouverts du recouvrement, que l'on notera ; c'est un ouvert du type . Son complémentaire est fini, et tout point de ce complémentaire appartient à l'un des ouverts du recouvrement, que l'on notera ; ce peut être un ouvert du type ou du type , c'est indifférent et il n'y a aucun moyen de le savoir.
    Toujours est-il que et la famille constituent un recouvrement fini, extrait de .
    C'est parfaitement clair

    Ah la la, je ne sais pas comment te remercier...
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