Nature de séries

invitec13ffb79 · 08/10/2008, 15h30

Bonjour,

En considérant une suite $\text{[math]}$ , j'ai démontré que $\text{[math]}$ converge.

On me demande alors de déduire de ce résultat que $\text{[math]}$ diverge, ainsi que $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

J'ai réussi à démontrer que $\text{[math]}$ diverge, mais pas en le déduisant du premier résultat. Comment feriez-vous? Au besoin, je vous donnerais la définition de la suite $\text{[math]}$ .

Merci d'avance.

**God's Breath** · 08/10/2008, 18h32

Bonjour,

La série $\text{[math]}$ a pour somme partielle $\text{[math]}$

La série $\text{[math]}$ converge, donc $\text{[math]}$ est de limite nulle.

On en déduit que les sommes partielles de la série $\text{[math]}$ divergent vers $\text{[math]}$ .

Par contre, pour la nature de la série $\text{[math]}$ , la définition de la suite $\text{[math]}$ est absolument nécessaire, la seule convergence de $\text{[math]}$ est insuffisante pour conclure (considére les séries de Riemann).

invitec13ffb79 · 08/10/2008, 18h42

Tout d'abord, je savais avant de déterminer la nature de $\text{[math]}$ que $\text{[math]}$ convergeait vers $\text{[math]}$ . Du coup, je ne déduis pas vraiment du fait que $\text{[math]}$ converge que $\text{[math]}$ diverge. En réalité, la méthode que tu présente est celle que j'avais réalisée...!

Concernant la définition de la suite $\text{[math]}$ , elle est définie ainsi:

$\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ .

Cela est-il utile pour conclure sur la nature de $\text{[math]}$ alors?

**God's Breath** · 08/10/2008, 18h53

Il faut exprimer $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ seulement, et prendre un équivalent.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitec13ffb79 · 08/10/2008, 18h56

Ok, je vais essayer. Mais concernant la 1ere question, penses-tu à une autre méthode?

**God's Breath** · 08/10/2008, 19h42

Il me semble que l'on peut se débrouiller pour déduire la limite de $\text{[math]}$ de la convergence de la série $\text{[math]}$ (pour un $\text{[math]}$ convenable).

invitec13ffb79 · 08/10/2008, 20h05

On ne s'est pas bien compris je crois.

Je savais avant de déterminer la nature de $\text{[math]}$ que $\text{[math]}$ tendait vers $\text{[math]}$ .

**God's Breath** · 08/10/2008, 20h32

Je crois surtout que je ne comprends pas parce que je suis face à un énoncé incomplet.

Pour obtenir la convergence de la série de $\text{[math]}$ , je suis obligé d'imaginer les hypothèses qui sont données dans l'énoncé, et en mettant la bonne hypothèse, je puis arriver à la convergence de cette série sans connaître la limite de la suite, que je déduis donc de la série...

invitec13ffb79 · 08/10/2008, 22h01

On trouve rapidement que $\text{[math]}$ converge grâce à la définition de $\text{[math]}$ . Il s'agit d'une série télescopique, et en simplifiant, on arrive à $\text{[math]}$ (au signe près), et l'on déduit la convergence de la série du fait que $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ . Est-ce plus clair?

**God's Breath** · 08/10/2008, 22h07

Oui, mais comment sait-on que la suite converge vers 0 ?

invitec13ffb79 · 08/10/2008, 22h12

Elle est décroissante, minorée donc elle converge vers un réel $\text{[math]}$ . On a donc $\text{[math]}$ d'où $\text{[math]}$ . Ok?

**God's Breath** · 08/10/2008, 22h22

Envoyé par dj_titeuf

Elle est décroissante, minorée donc elle converge vers un réel $\text{[math]}$ .

Pour la minorer, je pense qu'il faut une condition sur le premier terme...

Dès qu'on sait que la suite converge, cela suffit à prouver que $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ .

Je déduis la valeur $\text{[math]}$ de la convergence de $\text{[math]}$ , au lieu d'utiliser la relation entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Je sais, c'est tiré par les cheveux, mais je déduis tous mes résultats à partir de la convergence de la série.

invitec13ffb79 · 08/10/2008, 22h43

Pour la minoration, pas forcément besoin d'une condition sur le premier terme à mon avis: puisque $\text{[math]}$ est décroissante, on a $\text{[math]}$ d'où, en développant un peu, $\text{[math]}$ . Tu n'es pas d'accord?

**God's Breath** · 09/10/2008, 07h18

Envoyé par dj_titeuf

puisque $\text{[math]}$ est décroissante, on a $\text{[math]}$

Pour pourvoir écrire ce que tu écris, il faut déjà savoir que $\text{[math]}$ est positif...

Si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ , et la suite va décroître et diverger vers $\text{[math]}$ .

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