Agréable problème de mathématique ...

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Cher Membres ,
Voici un problème que l'on m'a posé (je poste la solution dans quelques jours mais je préfère vous laisser réfléchir) :
Existe t-il une application continue croissante de [0;1] dans [0;1] ayant un graphe de longueur 2 ?

A vous de jouer!

P.S. : Vous-êtes priés de mettre la réponse en Spoiler.

bonjour

ça a un rapport avec les fonctions dérivées ?
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[invite7863222222222]

C'est que j'ai écrit.

oups oui désolé.

Ils sont finis parce qu'inférieurs ou égaux à la somme (différence des abscisses)+(différence des ordonnées), la fonction étant croissante. C'est une conséquence de la définition de la longueur, que j'explique dans ma démonstration.

moui mais d'un autre coté, si on considère que la longueur de la courbe juste sur la restriction de la fonction à l'ensemble de cantor est nulle car la mesure de l'ensemble est nulle, alors on pourrait conclure que la longueur de la courbe est seulement égale à celle de sa restriction à l'ensemble de Cantor.

D'autre part :



donc



mais sans passer à la limite on ne peut pas dire



n'est-ce pas ?

[invitec317278e]

Si, il suffit de raisonner par l'absurde, si on avait a-2 strictement négatif, on pourrait trouver un n tq a-2+(3/2)^n soit strictement négatif.

[invite7863222222222]

Si, il suffit de raisonner par l'absurde, si on avait a-2 strictement négatif, on pourrait trouver un n tq a-2+(3/2)^n soit strictement négatif.

n tel (3/2)^n = -(a-2)/2, par exemple ?

[invitec317278e]

Par exemple, oui, mis à part quil faut remplacer le "=" pas un "ingérieur ou égal".

[invite7863222222222]

Par exemple, oui, mis à part quil faut remplacer le "=" pas un "ingérieur ou égal".

Oui je te l'accorde (mais c'est un hors sujet...).

[invite7863222222222]

Désolé je retire mes remarques précédentes (je faisais en fait encore une de plus, une confusion entre mesure et longueur de courbe).

[invite9cf21bce]

La projection des parties horizontales de la courbe sur l'axe des abscisses est égale à l'intervale [0, 1] moins l'ensemble de Cantor qui est de mesure nulle, sa longueur est donc 1 qui est aussi la longueur de la partie horizontale de la courbe.

La projection des parties non horizontales sur l'axe des ordonnées est égale à l'intervale [0, 1] moins un ensemble de mesure nulle, sa longueur est donc 1 qui est un minorant de la longueur de la partie non horizontale de la courbe.

Tout à fait ! C'est l'intuition que j'avais au départ.

Je me suis ensuite contenté de chercher une démonstration qui s'adapte à la définition précise de la longueur d'une courbe. L'emploi du caractère fractal de la courbe me semblait approprié pour cela ( ).

Taar.

[invitec1242683]

Je pense que l'on pouvait s'en dispenser et déterminer une borne inférieure en minorant les projections par l'inégalité triangulaire . Qu'en pensez vous ?

[invite74a6a825]

Peut on écrire le problème comme cela ?

[invite74a6a825]

Peut on écrire le problème comme cela ?

avec f(t)>=0 et f(t+dt)<=1

Si oui peut on trouver la solution à l'aide de cette équation ?

[invitec1242683]

C'est équivalent à la sommation de (1+f'(x))dx . J'avais pensé à cela , mais c'est un peu fastidieux

[invite74a6a825]

ALors ?



Si c'est vrai je ne vois pas comment le démontrer

[Médiat]

Si c'est vrai je ne vois pas comment le démontrer

En mettant dx en facteur :


Mais la variable de la somme de gauche est mal bornée, et pour le membre de droite, par un passage à la limite (sinon est un peu abusif) on obtient que la longueur de la courbe entre 0 et 1 est

[invite74a6a825]

En mettant dx en facteur :

Mais la variable de la somme de gauche est mal bornée

Pourquoi dx=0,1 c'est mal borné ?
Je bute encore là dessus

Mais aprés comment méttre dx en facteur ?
Je ne comprend pas comment faire apparaitre f'

[Médiat]

Pourquoi dx=0,1 c'est mal borné ?

Oui, dx ne varie pas de 0 à 1, d'ailleurs dans ce genre de sommation, dx est constant.

Je ne comprend pas comment faire apparaitre f'

Ceci dit, je pense que cette direction est une impasse (trouver l'équation d'une fonction grâce à sa longueur sur un segment, je n'y crois pas trop)

[invite74a6a825]

Oui, dx ne varie pas de 0 à 1, d'ailleurs dans ce genre de sommation, dx est constant.

Merci pour votre aide, j'ai compris que dx est constant
et c'est x qui varie de 0 à 1 avec un pas de dx
donc il fallait écrire somme x=0 à 1 au lieu de somme dx=0 à 1

(sinon est un peu abusif)

Vous me répondez qu'on fait apparaitre f' par


mais que c'est un peu abusif ?

Ceci dit, je pense que cette direction est une impasse (trouver l'équation d'une fonction grâce à sa longueur sur un segment, je n'y crois pas trop)

On ne pourrait donc pas trouver toutes les fonctions qui donnent se résultat ?

[Médiat]

Vous me répondez qu'on fait apparaitre f' par


mais que c'est un peu abusif ?

C'est abusif sans préciser que dx tend vers 0

On ne pourrait donc pas trouver toutes les fonctions qui donnent se résultat ?

Je pense que non ...

[invite74a6a825]

si je comprend bien, il faudrait trouver la primitive de

Sur Wikipedia la primitive de

avec C= constante
Est ce que toute valeur est possible pour C ?

[invitec1242683]

Non mais ce ne sera même pas une équa diff .. ce n'est pas la peine a moins de trouver des méthodes d'itérations extremement fastidieuses ..
PS: J'avais oublié la racine ...

[invite74a6a825]

Non

Alors qu'elle valeur lui donne on à cette constante C ?
n'est ce pas la même chose que dérivé de 2x + C = 2
Alors primitive de 2 = 2x + C

mais ce ne sera même pas une équation différentielle .. ce n'est pas la peine a moins de trouver des méthodes d'itérations extremement fastidieuses ..

Même si ça ne donne rien, ça me permet de me rémémorer toute ces notions et de toucher du doitgt la difficulté que votre intuition détecte.

[invitec317278e]

Autre problème, on n'a pas supposé la fonction dérivable

[invitec1242683]

elle l'est ne t'inquiete pas ... pardon pour l'imprécision .
En ce qui concerne domiM , je trouve que votre démarche est fort élégante et très constructive . A vrai dire vous avez plus gouté aux mathématiques que nous , qui appliquons nos formules un peu bêtement . ceci dit la forumle de sommation des parties élémentaires pour trouver la longueur d'un arc fut aussi une de mes trouvailles personnelles , exactement dans le même chemin que vous !

[invite74a6a825]

Un demi cercle est trop long donc c'est une demie ellipse de hauteur h < 1







J'avais cette solution en me réveillant

[Médiat]

Un demi cercle est trop long donc c'est une demie ellipse de hauteur h < 1







J'avais cette solution en me réveillant

Parmi les conditions, il y a : fonction croissante (sinon il y a pléthore de solutions), ce n'est pas le cas d'une demi-ellipse .

[invite74a6a825]

Je continurai si vous n'avez pas d'objection

[invite74a6a825]

Bonjour Media, déja sur le pond

Parmi les conditions, il y a : fonction croissante (sinon il y a pléthore de solutions), ce n'est pas le cas d'une demi-ellipse .

Ha oui, je n'avais pas vue

[invite74a6a825]

Il m'aura fallu 4 pages pour comprendre l'énoncé
Maintenant je ne vois qu'une solution possible c'est un escalier mais d'aprés wikipedia la fonction partie entière qui donne un escalier est semi continu
Donc celà ne répond pas à l'énoncé

Ce raisonnement est il juste ?

Je comprend maintenant la difficulté du problème

[Médiat]

Il m'aura fallu 4 pages pour comprendre l'énoncé
Maintenant je ne vois qu'une solution possible c'est un escalier mais d'aprés wikipedia la fonction partie entière qui donne un escalier est semi continu
Donc celà ne répond pas à l'énoncé

D'autant plus que la longueur de la fonction partie entière ente 0 et 1 est égale à 1, pas à 2.

Mais la solution donnée par Taar s'appelle aussi l'escalier du diable (il est plat presque partout (c'est à dire sauf sur un ensemble de mesure nulle), et pourtant il monte ).

[invite74a6a825]

J'ai trouvé un site qui parle de l'escalier du

Cette fonction a été construite pour donner un exemple de fonction continue ayant une dérivée nulle presque partout (sur le complémentaire de l'ensemble de Cantor) et qui n'est cependant pas constante ; autrement dit, l'escalier du diable est ainsi nommé car il est continu, a presque partout une tangente horizontale, et pourtant il monte ! Inversement bien sur, la tangente est verticale en tout point dont l'abscisse appartient à l'ensemble de Cantor

Mais alors si elle est continue

D'autant plus que la longueur de la fonction partie entière ente 0 et 1 est égale à 1, pas à 2.

Bien sur mais on peut contourner celà en multipliant par 10^n

y=Entier(x*10^n)/(10^n)

on a bien un esclier de longueur 2 mais d'aprés wiki c'est semi continu
Alors que l'escalier du diable est donné comme continu

C'est celà que je ne comprend pas
Mais le a tout les droits