Agréable problème de mathématique ...

[invitec1242683]

Cher Membres ,
Voici un problème que l'on m'a posé (je poste la solution dans quelques jours mais je préfère vous laisser réfléchir) :
Existe t-il une application continue croissante de [0;1] dans [0;1] ayant un graphe de longueur 2 ?

A vous de jouer!

P.S. : Vous-êtes priés de mettre la réponse en Spoiler.
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[inviteb7717e3b]

J'ai l'impression que c'est un OUI

On peut construire, par exemple, une fonction oscillante et croissante autour d'un segment strictement croissant. La longueur du graphe dans ce cas est forcément plus longue que le segment.

Je crois que si on se rappelle un peu des intégrales élliptiques et des fonctions trigonométriques périodiques, on pourrait avoir une issue.

[Urgon]

Un escalier, avec des marches de nombre et de longueur quelconque (sauf infini/0), reliant (0,0) à (1,1) a toujours une longueur de 2 ?

[invitebb921944]

Bonjour,

On peut construire, par exemple, une fonction oscillante et croissante autour d'un segment strictement croissant. La longueur du graphe dans ce cas est forcément plus longue que le segment.

Le plus long segment possible a pour longueur , c'est la diagonale du carré concernée...

Un escalier, avec des marches de nombre et de longueur quelconque (sauf infini/0), reliant (0,0) à (1,1) a toujours une longueur de 2 ?

Une fonction en escalier n'a aucune raison d'être continue.

Je pense que la réponse est non mais je ne vois pas de démonstration formelle...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb7717e3b]

Une fonction en escalier n'a aucune raison d'être continue.

ca dépend de la forme de l'escalier Monsieur

dans notre maison, l'escalier est bien bati avec du ciment, donc c'est du continu d'ailleurs j'arrive à monter rapidement dans ma chambre au 1er étage lol

Par contre, si je ne fais pas attention, mon orteil me ferai mal en touchant les coins anguleux, parce que ce n'est pas dérivable en quelques points

[invitebb921944]

Effectivement, si tu construis des escaliers plats, tout est possible mais tu risques d'avoir des difficultés à atteindre le premier étage

[invite7863222222222]

Le plus long segment possible a pour longueur , c'est la diagonale du carré concernée...

Tu voulais pas dire 2 = 1 + 1 correspondant aux cotés du triangle rectangle qui longe l'axe des abcisses et des ordonnées à partir de 0 jusqu'à 1 ?

[Urgon]

ca dépend de la forme de l'escalier Monsieur

dans notre maison, l'escalier est bien bati avec du ciment, donc c'est du continu d'ailleurs j'arrive à monter rapidement dans ma chambre au 1er étage lol

Par contre, si je ne fais pas attention, mon orteil me ferai mal en touchant les coins anguleux, parce que ce n'est pas dérivable en quelques points

Tout à fait. Une fonction en escalier est continue au sens de Cauchy, c'est sa dérivée qui est discontinue.

Tu voulais pas dire 2 = 1 + 1 correspondant aux cotés du triangle rectangle qui longe l'axe des abcisses et des ordonnées à partir de 0 jusqu'à 1 ?

C'est un escalier à une marche. Un cas dégénéré de tout escalier qui relie (0,0) à (1,1), qui sont tous de longueur 2.

Pour le moment, cette fonction (escalier) correspond tout à fait aux critères (continue et croissante).

[inviteb7717e3b]

C'est un escalier à une marche. Un cas dégénéré de tout escalier qui relie (0,0) à (1,1), qui sont tous de longueur 2.
Pour le moment, cette fonction (escalier) correspond tout à fait aux critères (continue et croissante).

F(x) = 0 si 0<=x<1
F(1) = 1

et

F(0) = 1
F(x) = 1 si 0<x<=1

ne sont pas continues en respectivement en 1 et en 0.

ou je me trompe?

[Médiat]

Pour le moment, cette fonction (escalier) correspond tout à fait aux critères (continue et croissante).

Mais est-ce une application de [0;1] dans [0;1] comme il est demandé dans l'énoncé ?

[invite7863222222222]

Mais est-ce une application de [0;1] dans [0;1] comme il est demandé dans l'énoncé ?

Effectivement non

[Médiat]

Pour répondre un peu mieux à la question de départ à la question, quelque soit strictement positif aussi petit que l'on veut, alors il existe une application de [0,1] dans [0,1] de longueur supérieur à .

On pourrait écrire cela avec des infinitésimaux (hyperréels, surréels, superréels ... )

[Urgon]

F(x) = 0 si 0<=x<1
F(1) = 1

et

F(0) = 1
F(x) = 1 si 0<x<=1

ne sont pas continues en respectivement en 1 et en 0.

ou je me trompe?

Je pensais à quelque-chose comme cela :

http://www.maths-et-physique.net/article-18006898.html

Mais effectivement, ce n'est pas une application.

D'ailleurs, le problème - évoqué dans l'article dont j'ai donné le lien ci-dessus - est intéressant (escalier de longueur 2 qui converge, quand les marches tendent vers une longueur 0, vers la longueur racine de 2). Il a été abordé dans ce forum ?

[invite9cf21bce]

Bonjour.

Existe t-il une application continue croissante de [0;1] dans [0;1] ayant un graphe de longueur 2 ?

Oui.

 Cliquez pour afficher

Soit la fonction de Cantor, soit la longueur de sa courbe (la courbe est rectifiable, car la longueur pour chaque subdivision est inférieure ou égale à 2 ; pour cette raison on a d'ailleurs ).
Pour tout , soit la longueur de la restriction de à . La longueur cherchée est .

Géométriquement, on observe :





L'inégalité provient du fait que la longueur d'une courbe est au moins aussi grande que l'écart en ordonnée.

De l'égalité, on tire facilement pour tout entier naturel :



De l'inégalité, on tire pour tout n :



et en multipliant par :



On passe à la limite :

Sympa, le problème.

Cela dit, ça ne résout pas le cas des fonctions strictement croissantes.

Taar.

[invite7863222222222]

Bonjour,

Juste un truc :

 Cliquez pour afficher

ce n'est pas plutot Ln supérieure ou égale à 1/3^n au lieu de 1/2^n ?

[invite9cf21bce]

Bonjour,
Juste un truc :

 Cliquez pour afficher

La courbe joint le point de coordonnées (0;0) au point de coordonnées (1/3^n,1/2^n). La longueur est supérieure ou égale à 1/2^n (l'écart en ordonnées).

[invite7863222222222]

Ok mais alors ...

 Cliquez pour afficher

je ne suis d'accord avec la relation entre l_n+1 et l_n

(je trouve quelque chose comme L > 1/3 + (4^n - 2^(n+1))/3^n, peut-être qu'alors en passant n à la limite ?)

[invite7863222222222]

Oups je retire mon dernier calcul (mais ma remarque me semble juste).

[Médiat]

On passe à la limite :

Es-tu sur que l'on puisse ? Avec un raisonnement similaire on peut montrer que (avec un escalier tout bête)

[invitec317278e]

Pourquoi ne le pourrait-on pas ?

[Médiat]

Considère f_nl'escalier à n marches régulièrs entre (0,0) et (1,1), sa longueur est 2 quelque soit n, or la limite de la famille de fonction f_n est la diagonale de longueur ...

De plus la courbe de Cantor est non horizontale sur un ensemble de mesure nulle, quelle peut-être la longueur de la courbe sur cet ensemble ?

[invite7863222222222]

Finalement, je suis d'accord avec le développement du calcul mais ca me dérange quelque part.

On parle de grandeur Ln mais elle ne sont pas définies rigoureusement, rien ne me dit que le L0 ait la même définition que ce qu'on peut s'attendre habituellement pour la longueur d'une courbe, on peut dire qu'il y a des ressemblances entre les deux notions mais c'est tout, s'il s'agit de deux définitions différentes, on ne peut pas prendre une notion pour l'autre.

[invitec317278e]

Mais dans ce cas, où est l'erreur exactement ?

[invite9cf21bce]

Considère f_nl'escalier à n marches régulièrs entre (0,0) et (1,1), sa longueur est 2 quelque soit n, or la limite de la famille de fonction f_n est la diagonale de longueur ...

De plus la courbe de Cantor est non horizontale sur un ensemble de mesure nulle, quelle peut-être la longueur de la courbe sur cet ensemble ?

La longueur de courbes, même pour la norme , ne passe pas à la limite, même en cas de convergence uniforme.

La longueur d'une courbe plane , , est le sup des sommes des distances sur l'ensemble des subdivisions de .

Si est une fonction définie sur , on reprend la définition précédente avec le paramétrage .

Si est une fonction réelle définie sur , croissante et à valeurs dans , alors la longueur de sa courbe est majorée par , car dans ce cas, pour toute subdivision et pour tout k on a :

En particulier, elle est rectifiable. La fonction n'a même pas besoin d'être continue, en fait.

Qui plus est, comme chaque , la longueur est également supérieure ou égale à .

Dans l'exemple que je donne, il n'y a pas de passage à la limite de fonction. Il n'y a qu'une seule et unique courbe dont je calcule la longueur en additionnant des morceaux, ce qui ne pose aucun problème si on se réfère à la définition.

Et bien sûr, en plus, la fonction a le bonheur d'être continue de dans .

Taar.

[invite7863222222222]

La longueur d'une courbe plane , , est le sup des sommes des distances sur l'ensemble des subdivisions de .

Je ne suis pas d'accord ce n'est pas ce que tu as fait mais sinon c'est curieux qu'on puisse arriver à faire de telles choses (ca me surprend encore).

[invite7863222222222]

Mais dans ce cas, où est l'erreur exactement ?

Je ne dis qu'il y a une erreur, je dis juste qu'il doit peut-être y avoir une démonstration qui pourrait plus me convaincre sans du tout vouloir remettre en cause ce qu'a donné Taar.

[invite7863222222222]

Si on calcule la longueur des courbes des fonctions de la suite de fonctions qui tend vers la fonction de Cantor puis qu'on passe à la limite, on obtient 2 mais c'est pareil si on peut vraiment faire cela, je sais franchement pas.

[invite7863222222222]

Si ou voulait être cohérant, il faudrait normalement démontrer le résultat qu'on puisse bien passé à la limite sinon dans le cas contraire, il s'agiraitt en fait juste d'une limite mais qui ne serait peut-être pas atteinte où définissable par la fonction de Cantor.

Sinon, j'ai trouvé deux difficultés dans la démonstration précédente :

1. d'un coté on a utilisé le fait que en disant que la longueur d'une courbe est inférieure à la différence des ordonnées et d'un autre on trouve une longueur finale "a" qui ne respecte pas ce résultat (la différence de ces ordonnées = 1-0 =1)
2. on a suppose les finis, pourquoi ne seraient-ils pas à à partir du moment où on accepte que la longueur d'une courbe entre deux intervalles puisse être supérieure à la différence des ordonnées ?

[invite9cf21bce]

Si ou voulait être cohérant, il faudrait normalement démontrer le résultat qu'on puisse bien passé à la limite sinon dans le cas contraire, il s'agiraitt en fait juste d'une limite mais qui ne serait peut-être pas atteinte où définissable par la fonction de Cantor.

Le recours à la limite est juste une façon d'obtenir rapidement et sans trop de technicité que si un nombre A vérifie pour tout n, alors .

On aurait pu tout aussi bien s'en passer : si A<0, alors il existe un n tel que , à savoir .

La démonstration proprement dite ne fait pas appel aux limites.

Sinon, j'ai trouvé deux difficultés dans la démonstration précédente :[*]d'un coté on a utilisé le fait que en disant que la longueur d'une courbe est inférieure à la différence des ordonnées et d'un autre on trouve une longueur finale "a" qui ne respecte pas ce résultat (la différence de ces ordonnées = 1-0 =1)

C'est que j'ai écrit.

on a suppose les finis, pourquoi ne seraient-ils pas à à partir du moment où on accepte que la longueur d'une courbe entre deux intervalles puisse être supérieure à la différence des ordonnées ?

Ils sont finis parce qu'inférieurs ou égaux à la somme (différence des abscisses)+(différence des ordonnées), la fonction étant croissante. C'est une conséquence de la définition de la longueur, que j'explique dans ma démonstration.

[Médiat]

Dans l'exemple que je donne, il n'y a pas de passage à la limite de fonction. Il n'y a qu'une seule et unique courbe dont je calcule la longueur en additionnant des morceaux, ce qui ne pose aucun problème si on se réfère à la définition.

Exact, je n'avais pas compris ce point.
Je te propose une autre démonstration :

La projection des parties horizontales de la courbe sur l'axe des abscisses est égale à l'intervale [0, 1] moins l'ensemble de Cantor qui est de mesure nulle, sa longueur est donc 1 qui est aussi la longueur de la partie horizontale de la courbe.

La projection des parties non horizontales sur l'axe des ordonnées est égale à l'intervale [0, 1] moins un ensemble de mesure nulle, sa longueur est donc 1 qui est un minorant de la longueur de la partie non horizontale de la courbe.

Les deux ensembles précédents étant disjoints, la longueur de la courbe est donc supérieure ou égale à 2 ...