En cour, on a montré qu'une fonction qui est une dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.
Aussi je me demande si l'on se donne une fonction f dérivable sur ]a,b[, est ce que sa dérivée f' est nécessairement continue sur ]a,b[.
Ca me gêne parce que sur ]a,b[ une fonction dérivable devient équivalent à une fonction C1, mais je ne trouve pas de contre-exemple.
Merci pour votre aide.
Salut!
Si tu prends une fonction f intégrable sur [a,b] mais non continue sur ]a,b[ (une fonction en escaliers ou continue par morceaux par exemple), elle admet une primitive F. F est dérivable sur ]a,b[, sa dérivée est f qui n'est pas continue.
Cordialement
Oui j'y avais pensé, mais F ne sera pas dérivable sur tout ]a,b[. Au point de discontinuité de f, F ne sera pas dérivable...
J'ai fouillé un petit peu sur le net, et j'ai trouvé un contre exemple :
f(0) = 0.
Pour tout réel x non nul, f(x) = x^2 * sin(1/x).
On peut montrer que f est dérivable sur R, mais non continue sur R
http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc4/deriveP.html
Merci et désolé pour l'embetement.
oups! au temps pour moiEnvoyé par GogetaSS5
Salut !
C'est effectivement assez difficile de construire des exemple de fonction dérivable non C1 : tu as trouvé un contre exemple dont la dérivé est discontinue en un point, mais on peut assez difficilement faire beaucoup mieux, notement il n'existe pas de fonction dérivable dont la dérivé n'est continue en aucun point.
en fait on a des résultat qui disent que l'ensemble des point ou une fonction dérivable est C1 est "Grand". si je me souviens on sait précisement que c'est un "Gdelta dense" c'est à dire une intersection dénombrable d'ouvert dense. on peut aussi formuler cela en disant que si f est dérivable, alors sa dérivé est continu "presque partout au sens de Baire"
