Bonjour,
Je cherche quelques pistes pour le probleme suivant en theorie de la mesure.
Soit B un borelien inclus dans [0,1].
Montrer que pour tout e > 0, il existe un intervalle A compose d'une union finie d'intervalle ]a,b] tel que
soit plus petit que e.
(et que ca reste vrai si on suppose seulement que la mesure de Lesbegue de B est finie)
Je pensais pouvoir le faire en utilisant le fait que le borelien B peut s'ecrire sous forme d'une union (infinie) d'intervalle ]a,b] mais c'est faux.
Je reformule plus clairement:
Soit B un borelien inclus dans [0,1].
Montrer que pour tout e > 0, il existe un intervalle A compose d'une union finie d'intervalles ]a,b] tel que
soit plus petit que e.
(et que ca reste vrai si on suppose seulement que la mesure de Lesbegue de B est finie)
Je pensais pouvoir le faire en utilisant le fait que le borelien B peut s'ecrire sous forme d'une union (infinie) d'intervalle ]a,b] mais c'est faux.
je pense qu'un bon point de départ est de bien définir un borélien de [0,1]:
c'un un ensemble créé à partir d' ouverts par réunions, intersections (dénombrables) et passages au complémentaires.
les ouverts étants générés par la famille des {[0,a[,]b,1], ]a,b[; avec 0<a<b<1} on peut en déduire assez facilement que ton borélien est une réunion dénombrable d'intervalles (ouverts, fermés ou mixtes) et de singletons. la suite est un raisonnement topologique en utilisant probablement la compacité de [0,1] (ou de l'adhérence de B si on utilise seulement la mesure finie).
Salut, cette affirmation me parait douteuse. Les intervalles engendrent les boréliens mais ça ne veut pas dire que les boréliens sont tous union dénombrables d'intervalles.Envoyé par o-b1
Par exemple, l'ensemble de Cantor est un borélien (de mesure nulle) mais n'est pas dénombrable.
Cordialement
Edit: ce que je dis est à confirmer, mes cours sur les boréliens étant assez lointains.
En lisant Wikipedia
http://fr.wikipedia.org/wiki/Tribu_bor%C3%A9lienne
j'aurais tendance a penser que taladris a raison, mais je ne suis pas sur.
ce qui se passe c'est qu'une réunion d'intervalles et une réunion dénombrable d'intervalles c'est la même chose.
Un singleton {a}, c'est un intervalle [a,a]. Qu'en est-il alors de l'ensemble de Cantor, qui est non dénombrable et discontinu?
pardon, je pensais intervalles ouverts
