Bonsoir,

j'ai du mal à comprendre la démonstration de ce théorème.

théorème: Soient et deux espaces de Banach réflexifs.
Soit un opérateur linéaire non-borné, fermé avec . Alors est dense dans .

démonstration: Soit une forme linéaire continue sur , nulle sur .
On cherche à prouver que . Comme est réflexif, on peut supposer que et que

.

On note le graphe de . Si , alors dans . On sépare alors strictement et par un hyperplan fermé dans ,

ie il existe tel que

.

Il en résulte, en particulier, que


et
.

Donc et on obtient une contradiction en choisissant dans .
Par conséquent et est dense dans .


j'ai du mal à saisir pourquoi cette séparation stricte entraîne l'existence d'un tel ?

Merci pour votre aide.