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Inégalité sur les fonctions exponentielles à montrer



  1. #1
    justine&coria

    Inégalité sur les fonctions exponentielles à montrer


    ------

    Salut à tous,

    Voilà, dans un exo, il faut que je démontre ça :

    Pour tout x<0, .

    Donc, bon, perso, j'ai dit que c'était équivalent à montrer que

    Et une petite étude de fonction montre que c'est bien le cas.

    Mais j'aimerais savoir s'il existe une autre façon de le montrer.

    Parce que dans la question, ils insistent bien sur le fait de montrer que c'est vrai pour . (pour x>0, c'est trivial, on a une somme de nombres positifs).

    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    blable

    Re : Inégalité sur les fonctions exponentielles à montrer

    Bonsoir,

    est faux bien si c'est pour tout x négatif... ( ex pour , . Il aurait fallu faire une "grande" étude de la fonction et peut-être l'équivalence est fausse

  3. #3
    blable

    Re : Inégalité sur les fonctions exponentielles à montrer

    Rebonsoir, j'ai regardé si je trouvais une autre démo qu'une étude de fonction

    Mq Mq ne s'annule pas pour x<0 car la fonction est continue et vaut 1 pour x=-1.
    .

    1er cas.
    or dans ce cas donc il n'existe pas de solution pour x<-1

    2e cas. 0>x>-1
    inégalité classique et en remplaçant on tombe sur absurde...

    Voilà bonne soirée

    PS: tu as dû mal taper l'équivalence que tu as trouvé en effet on trouve alors que c'est équivalent à montre que en effet x et 1/x décrivent tous les nombres négatifs

  4. #4
    MMu

    Re : Inégalité sur les fonctions exponentielles à montrer

    justine&coria voulaient sûrement ramener le problème initial à
    En posant on ramène le problème à ou encore , ce qui est lumineux ..
    Par une méthode analogue on peut montrer une inégalité plus forte : si alors
    Qui s'y colle ? ...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    blable

    Re : Inégalité sur les fonctions exponentielles à montrer

    Re,
    je m'y suis collé et je pense que tu as fait une erreur d'énoncé MMu. Je vais donc montrer avec et non

    Donc,


    Bonne nuit à tous.

  7. #6
    blable

    Re : Inégalité sur les fonctions exponentielles à montrer

    PS : dans la premiere methode que j'ai proposée j'ai fait une erreur dans le 2e cas, et non ... heuresement on retombe sur quelque chose du même type, somme de deux carrés négative .
    Salut !.

  8. #7
    MMu

    Re : Inégalité sur les fonctions exponentielles à montrer

    Je viens de lire les messages de blable , et malgré tout ce qu'il dit je soutiens que mon énoncé est correct
    On part de (facile à montrer via l'étude de la fonction ).

    On a donc , d'où , via le changement , on obtient ..

  9. #8
    blable

    Re : Inégalité sur les fonctions exponentielles à montrer

    Re,

    ah oui !

    mais c'est quand même dommage de montrer par une étude fonctionnelle vu que l'idée de la démo est justement de ne pas montrer par une étude fontionnelle. Donc pour la beauté de la démo de Mmu je justifierais par la convexité de exponentielle qui est "au dessus" de ses tangentes et donc de tangente à la courbe en 1.
    Sinon

    Bonne journée ( et bonnes vacances pour certains )

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