Simplification arctan en arccos

[invite5ea7aaa4]

Bonjour à tous, j'ai du mal à simplifier l'expression suivante en fonction de arccos, pouvez-vous m'aider?

Expression à simplifier : arctan(racine((1-x)/(1+x))) en fonction de arccos.

2 idées :
-dériver et essayer de retomber sur une forme connue (par exemple la dérivée de arccos) pour par la suite intégrer et chercher la constante pour un certain x.
Bon j'arrive à une expression que je n'arrive pas à primitiver!

-mettre arctan(tan(racine...))=... mais je n'arrive pas à faire grand chose d'autre.

On me demande aussi de préciser sur quel intervalle je travaille, je crois que ça va dépendre de la méthode utilisée pour les calculs mais on a en tout cas x différent de -1

Merci d'avance pour votre aide
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

Expression à simplifier : arctan(racine((1-x)/(1+x))) en fonction de arccos.

2 idées :
-dériver et essayer de retomber sur une forme connue (par exemple la dérivée de arccos) pour par la suite intégrer et chercher la constante pour un certain x.
Bon j'arrive à une expression que je n'arrive pas à primitiver!

Quelle est l'expression que tu n'arrives pas à primitiver ?

On me demande aussi de préciser sur quel intervalle je travaille, je crois que ça va dépendre de la méthode utilisée pour les calculs mais on a en tout cas x différent de -1

Au mieux, tu peux travailler sur l'ensemble de définition de ; quel est-il ?

[invite5ea7aaa4]

En dérivant j'arrive à -(1-x)^(-1/2) * (1+x)^(-1/2)
= -(2)^(-1/2)

Ainsi la primitive serait -(2)^(-1/2)*x et on ne retrouve pas de arccos!


La fonction admet une bijection de -pi/2;pi/2 sur R.
Notre fonction serait donc définie sur R- privé de -1 car le dénominateur ne doit pas s'annuler et racine est défini sur R+

[invitec317278e]

Je ne sais pas comment tu as dérivé, mais je doute fortement que ta fonction soit une fonction affine.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Ton domaine de définition est faux aussi, d'ailleurs.

Après avoir tracé la fonction sur ma calculette et donc vu le résultat, je peux en tout cas te dire que la méthode de dériver marchera sans aucun doute, à condition de ne pas se perdre dans les calculs.

[invite5ea7aaa4]

Euh oui effectivement j'ai oublié de ragerder le signe du dénominateur. On travaille donc sur -1;1 ouverts.

Je recalcule la dérivée pour voir où je me suis trompé!

[invite5ea7aaa4]

Alors j'ai recalculé la dérivée et j'arrive à un résultat dont je suis à peu près sur :

f '(x) = -1 / (2*(x+1)*racine((-x+1)/x+1))

Et la pour primitiver..

[invite57a1e779]

!!!

[invitec317278e]

Sinon, une autre piste, moins calculatoire, mais où il faut faire attention aux "détails" d'ensembles de définitions et de signes, est de se rappeler que :

avec

[invite5ea7aaa4]

J'avais pas vu (le dimanche matin et moi...), et là on retombe sur du connu merci beaucoup!!!

On a donc f(x) = 1/2 * arccos(x) + c.

La question que je me pose : est-il vraiment nécessaire de déterminer une constante?

PS : oui l'autre méthode a l'air pas mal du tout, je vais la regarder aussi, merci!

[invitec317278e]

Oui, il est nécessaire de déterminer la constante, puisque deux fonctions ayant même dérivée sont égales à une constante près.
Mais il suffit d'évaluer en 0, par exemple...

[invite5ea7aaa4]

Ok en 0 on a arctan(1) = pi/4
et 1/2 * arccos(0) = pi/4.

On a ainsi :
arctan(racine((1-x)/(1+x))) = 1/2 * arccos(x) + pi/4

[invitec317278e]

J'ai un sérieux doute sur la conclusion que tu tires des deux premières égalités !!

[invite5ea7aaa4]

Je reprends on a :
arctan(racine((1-x)/(1+x))) = 1/2 * arccos(x) + c
Pour x = 0 :
pi/4 = pi/4 + c
d'où c=0

-> arctan(racine((1-x)/(1+x))) = 1/2 * arccos(x) pour tout x appartenant à -1;1 ouverts