Equation

[invite13e0016f]

Bonjour,

nous avons fait en cours un exercice sur le discriminant d'un polynome du 3^ème degré et il y a une étape que je ne comprend pas.J'ai demandé au prof mais cela ne m'a pas beaucoup avancé.

Voici l'énoncé, mon problème est pour la question 2:

Soit l'équation x³+ax²+bx+c=0
1) Montrer que cette équation peut s'écrire y³+py+q=0 (1)
2) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que (1) admette une racine double. Donner cette solution.

je mets en pièce jointe ce que nous avons écrit, ainsi, vous pourrez voir la les deux questions.
J'ai mis une croix dans la marge au niveau de ce que je n'ai pas compris (passage de l'avant dernière à la dernière étape) et ce qui est écrit à droite, au crayon de papier à côté de la flèche est ce que le prof m'a écrit pour m'expliquer).

De plus, la question d'après porte sur la résolution de l'équation x³-3x+2=0.
Le prof trouve un discriminant égal à 2 mais moi je trouve 0(4/4-27/27=0). Qui a raison?

Merci pour votre aide
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[invite62ffc9d0]

bonsoir,
La pièce jointe est pratiquement illisible.
Peut-on l'améliorer?

[invitea3eb043e]

Effectivement le scan n'est pas terrible.
De manière générale, quand on a une équation polynômiale qui commence par un terme en a_p x^p + a_(p-1) x^(p-1)...=0
la somme des racines c'est - a_(p-1)/a_p
Dans ton cas, la somme des 3 racines c'est -a : x1 + x2 + x3 = -a
Donc on est tenté de poser
X = x + a/3 ce qui fait que les 3 racines X1, X2 et X3 vérifieront X1 + X2 + X3 = 0

C'est ce que fait ton cours et on arrive à la forme dite canonique
x^3 + p x + q = 0

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Ce ne serait pas la méthode de Cardan, ça ?

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited776e97c]

Si.

C'est bien la méthode de cardan.

[invite13e0016f]

désolé!

je le voyais bien sur mon ordinateur quand je l'ai scanné, je vais voir ce que je peux faire.

C'est ce que fait ton cours et on arrive à la forme dite canonique
x^3 + p x + q = 0

J'ai compris jusque là, en fait, mon problème est après, pour la question 2. Nous avons dit que pour que alpha soit racine de multiplicité 2 de (1), alpha³+p*alpha+q=0 et que alpha doit aussi être racine de multiplicité 1 de laa dérivée de (1) soit 3 alpha²+p=0

Nous avons alors résolu ce système:
alpha= racine(-p/3)
(-p/3)racine(-p/3) + p racine(p/3) + q=0

c'est pour passer de l'étape que je viens d'écrire à la suivant que je ne comprends pas:
alpha= racine(-p/3)
4p³+27q²=0

Mais je vais voir pour ma feuille scannée si j'arrive à avoir quelque chose de mieux.

[invite13e0016f]

sinon,
pour ceci:

la question d'après porte sur la résolution de l'équation x3-3x+2=0.
Le prof trouve un discriminant égal à 2 mais moi je trouve 0(4/4-27/27=0). Qui a raison?

Quelqu'un pourrait-il me répondre svp? Merci!

[invited776e97c]

Un discriminant pour une equation du troisième degré !!!

[invitec317278e]

C'est pourtant bien comme ça que ça s'appelle.

[invited776e97c]

Et comment on le calcule ?

[inviteaf1870ed]

regarde méthode de Cardan sur Wikipedia

[invite13e0016f]

Oui, il y a bien discriminant pour les équation du 3ème degré par la méthode de Cardan: (q²/4)+(p³/27)