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Racines d'un polynôme du troisième degré



  1. #1
    aurk

    Racines d'un polynôme du troisième degré


    ------

    Bonjour,

    j'aurais voulu savoir si un polynome du 3ème degré peut n'avoir que 2 racines et si c'est le cas, comment le factoriser?

    car je dois résoudre -x3+3x-2 et je n'ai trouvé comme racne que 1 et -2.

    Je dois aussi résoudre(x-1)3
    J'ai comme racine 1. Mais est-ce la seule?

    si c'est le cas, cela veut-il dire que la matrice dont le polynome caractéristique est (x-1)3 n'a qu'une valeur propre?

    Merci

    -----

  2. #2
    Thorin

    Re : racines d'un polynôme du troisième degré

    Un polynôme du troisième degré peut effectivement n'avoir que 2 racines réelles distonctes, mais dans ce cas, une des racines doit être une racine double. C'est à dire que dans la factorisation, il y a avec la racine dite double.

    Ici, on a :
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  3. #3
    God's Breath

    Re : racines d'un polynôme du troisième degré

    Bonjour,

    Citation Envoyé par aurk Voir le message
    j'aurais voulu savoir si un polynome du 3ème degré peut n'avoir que 2 racines et si c'est le cas, comment le factoriser?

    car je dois résoudre -x3+3x-2 et je n'ai trouvé comme racne que 1 et -2.
    Puisque 1 et -2 sont racines, tu peux factoriser ton polynôme par (x-1)(x+2). Comme ton polynôme est de degré 3, et que tu mets en facteur un polynôme de degré 2, il te restera un autre facteur du premier degré qui te fournira la "troisième" racine.

    Citation Envoyé par aurk Voir le message
    Je dois aussi résoudre(x-1)3
    J'ai comme racine 1. Mais est-ce la seule?
    Dans un corps, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un des facteurs est nul; donc est nul si, et seulement si ou ou , c'est-à-dire ou ou .
    N'as-tu jamais entendu parler de racines multiples (une racine triple dans cet exemple) ?

    Citation Envoyé par aurk Voir le message
    si c'est le cas, cela veut-il dire que la matrice dont le polynome caractéristique est (x-1)3 n'a qu'une valeur propre?
    Oui, il peut très bien se faire qu'une matrice n'ait qu'une seule valeur propre.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #4
    aurk

    Re : racines d'un polynôme du troisième degré


    Citation:
    Posté par aurk
    si c'est le cas, cela veut-il dire que la matrice dont le polynome caractéristique est (x-1)3 n'a qu'une valeur propre?

    Oui, il peut très bien se faire qu'une matrice n'ait qu'une seule valeur propre.
    Mais alors, si c'est un matrice carrée de type 3, est-ce-que ça veut dire qu'elle n'est pas diagonalisable ou faut-il mettre comme nombres sur la diagonale à chaque fois 1?

    Merci

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    aurk

    Re : racines d'un polynôme du troisième degré

    Bonjour,

    j'aurais voulu savoir s'il est possible de "prévoir" la multiplicité d'une valeur propre ou d'une racine? et si oui, comment?
    Merci

  7. #6
    Thorin

    Re : racines d'un polynôme du troisième degré

    la racine est de multiplicité 2 si elle est racine de P' et pas de P''.
    de multiplicité 3 si elle est racine de P', de P'', et pas de P''', etc...
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  8. #7
    sebsheep

    Re : racines d'un polynôme du troisième degré

    Citation Envoyé par aurk Voir le message
    Mais alors, si c'est un matrice carrée de type 3, est-ce-que ça veut dire qu'elle n'est pas diagonalisable ou faut-il mettre comme nombres sur la diagonale à chaque fois 1?

    Merci
    Si elle peut être parfaitement diagonalisable. Il faut que tu regardes la dimension de l'espace propre associé à cette valeur propre. Cet espace t'es donné par ker(M-Id). Pour avoir la dimension de cet espace, on utilise souvent le théorème du rang : tu écris ta matrice M-Id, tu regarde quelle est son rang, tu en déduis la dimension de son noyau (n-rang(M-Id)). Si cette dimension est égale à sa multiplicité, alors c'est bon, ta matrice est diagonalisable. Sinon, non

  9. #8
    Le lyceen59155

    Re : Racines d'un polynôme du troisième degré

    Juste une petite question , on sait d'après le théorème de cayley hamilton que le polynome caractéristique est annulateur mais est qu'il faut que le polynome annulateur soit scindé ou scindé simple pour que la matrice soit diagonalisable?

  10. #9
    g_h

    Re : Racines d'un polynôme du troisième degré

    Citation Envoyé par Le lyceen59155 Voir le message
    Juste une petite question , on sait d'après le théorème de cayley hamilton que le polynome caractéristique est annulateur mais est qu'il faut que le polynome annulateur soit scindé ou scindé simple pour que la matrice soit diagonalisable?
    Il n'y a pas d'équivalence. Par contre, scindé simple => diagonalisable
    Mais diagonalisable n'implique pas scindé simple.

    Par contre, pour le polynôme minimal, il y a équivalence entre "scindé simple" (pour le polynôme) et diagonalisable (pour la matrice)

  11. #10
    Le lyceen59155

    Re : Racines d'un polynôme du troisième degré

    Ok merci , j'avais juste un doute .

  12. #11
    aurk

    Re : racines d'un polynôme du troisième degré

    Citation Envoyé par Thorin Voir le message
    la racine est de multiplicité 2 si elle est racine de P' et pas de P''.
    de multiplicité 3 si elle est racine de P', de P'', et pas de P''', etc...
    Ok. Merci, c'est tout simple en fait mais je n'y avait pas du tout pensé!

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