Racines d'un polynôme du troisième degré

[invite13e0016f]

Bonjour,

j'aurais voulu savoir si un polynome du 3ème degré peut n'avoir que 2 racines et si c'est le cas, comment le factoriser?

car je dois résoudre -x³+3x-2 et je n'ai trouvé comme racne que 1 et -2.

Je dois aussi résoudre(x-1)³
J'ai comme racine 1. Mais est-ce la seule?

si c'est le cas, cela veut-il dire que la matrice dont le polynome caractéristique est (x-1)³ n'a qu'une valeur propre?

Merci
-----

[invitec317278e]

Un polynôme du troisième degré peut effectivement n'avoir que 2 racines réelles distonctes, mais dans ce cas, une des racines doit être une racine double. C'est à dire que dans la factorisation, il y a avec la racine dite double.

Ici, on a :

[invite57a1e779]

Bonjour,

j'aurais voulu savoir si un polynome du 3ème degré peut n'avoir que 2 racines et si c'est le cas, comment le factoriser?

car je dois résoudre -x³+3x-2 et je n'ai trouvé comme racne que 1 et -2.

Puisque 1 et -2 sont racines, tu peux factoriser ton polynôme par (x-1)(x+2). Comme ton polynôme est de degré 3, et que tu mets en facteur un polynôme de degré 2, il te restera un autre facteur du premier degré qui te fournira la "troisième" racine.

Je dois aussi résoudre(x-1)³
J'ai comme racine 1. Mais est-ce la seule?

Dans un corps, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un des facteurs est nul; donc est nul si, et seulement si ou ou , c'est-à-dire ou ou .
N'as-tu jamais entendu parler de racines multiples (une racine triple dans cet exemple) ?

si c'est le cas, cela veut-il dire que la matrice dont le polynome caractéristique est (x-1)³ n'a qu'une valeur propre?

Oui, il peut très bien se faire qu'une matrice n'ait qu'une seule valeur propre.

[invite13e0016f]

Citation:
Posté par aurk
si c'est le cas, cela veut-il dire que la matrice dont le polynome caractéristique est (x-1)3 n'a qu'une valeur propre?

Oui, il peut très bien se faire qu'une matrice n'ait qu'une seule valeur propre.

Mais alors, si c'est un matrice carrée de type 3, est-ce-que ça veut dire qu'elle n'est pas diagonalisable ou faut-il mettre comme nombres sur la diagonale à chaque fois 1?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite13e0016f]

Bonjour,

j'aurais voulu savoir s'il est possible de "prévoir" la multiplicité d'une valeur propre ou d'une racine? et si oui, comment?
Merci

[invitec317278e]

la racine est de multiplicité 2 si elle est racine de P' et pas de P''.
de multiplicité 3 si elle est racine de P', de P'', et pas de P''', etc...

[invite00970985]

Mais alors, si c'est un matrice carrée de type 3, est-ce-que ça veut dire qu'elle n'est pas diagonalisable ou faut-il mettre comme nombres sur la diagonale à chaque fois 1?

Merci

Si elle peut être parfaitement diagonalisable. Il faut que tu regardes la dimension de l'espace propre associé à cette valeur propre. Cet espace t'es donné par ker(M-Id). Pour avoir la dimension de cet espace, on utilise souvent le théorème du rang : tu écris ta matrice M-Id, tu regarde quelle est son rang, tu en déduis la dimension de son noyau (n-rang(M-Id)). Si cette dimension est égale à sa multiplicité, alors c'est bon, ta matrice est diagonalisable. Sinon, non

[invited776e97c]

Juste une petite question , on sait d'après le théorème de cayley hamilton que le polynome caractéristique est annulateur mais est qu'il faut que le polynome annulateur soit scindé ou scindé simple pour que la matrice soit diagonalisable?

[invite97a92052]

Juste une petite question , on sait d'après le théorème de cayley hamilton que le polynome caractéristique est annulateur mais est qu'il faut que le polynome annulateur soit scindé ou scindé simple pour que la matrice soit diagonalisable?

Il n'y a pas d'équivalence. Par contre, scindé simple => diagonalisable
Mais diagonalisable n'implique pas scindé simple.

Par contre, pour le polynôme minimal, il y a équivalence entre "scindé simple" (pour le polynôme) et diagonalisable (pour la matrice)

[invited776e97c]

Ok merci , j'avais juste un doute .

[invite13e0016f]

la racine est de multiplicité 2 si elle est racine de P' et pas de P''.
de multiplicité 3 si elle est racine de P', de P'', et pas de P''', etc...

Ok. Merci, c'est tout simple en fait mais je n'y avait pas du tout pensé!