Excusez moi, mais je ne vois pas ce qui ne serait pas correct dans le raisonnement de shokin ou erik (message 2 et 3), j'ai pas regardé tous les autres...Envoyé par R is R
Par contre, cette phrase péremptoire que je vois là je ne sais pas ce qu'elle veut dire...
Pour mémoire il y a une infinité de 9 après la virgule. Si tu multiplie par 10 il y a toujours une infiinité de 9 après la virgule.
C'est cela que tu contestes ?
Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.
Comme je l'ais dit précédemment, j'irais reprendre le raisonnement d'un de mes profs demain qui nous avait expliquer les histoires d'arrondis et d'infinis
Mais cher R is R,
Quand on note 0.99... il n'ya pas d'arrondis, cela veut dire 0.(une infinité de 9)
Le problème peut se résumer autrement :
Trouver un réel X tel que
1 > X > 0.9999999999...
Puisque qu'entre 2 réels différents il y a une infinité de réels, et puisque ce réel X n'existe pas, on conclut que 1 = 0.9999999999...
Bravo,
C'est une manière de voir violemment différente de ce qui précède, et rigoureusement juste, je n'avais jamais pensé présenter la chose comme ça.
Erik
Ce n'est pas une démonstration, mais on peut se souvenir que 1/9 = 0.111..., 2/9 = 0.222..., 3/9 = 0.333... etc ... du coup, 9/9 = 0.999... et 9/9 vaut 1 évidemment
... et pourtant, c'est vrai, il y a quelque chose de titillant... !
Essayons de prendre quelque chose de concret :
Imaginons que j'aie 1 mètre à parcourir.
Je fais 1 pas de 0.5 mètre. Si j'en refais un, j'atteins mon but.
Je fais 1 pas de 0.25 metre. Si j'en refais un, j'atteins mon but.
Je fais 1 pas de 0.125 mètre. Si j'en refais un, j'atteins mon but.
À chaque fois, il me reste 1 pas à faire pour atteindre mon but (ça doit pouvoir être démontrable par récurrence)
Donc je peux aussi démontrer par récurrence qu'il existe une distance me séparant de mon but.
Or, la limite de la somme de 2-n pour n allant de 1 à +inf vaut bient 0.9999999... donc 1 d'après les raisonnements précédents.
Pourtant, il me restera toujours un pas à faire, même si j'avance infiniment longtemps.
Donc, pour tout entier n>0 aussi grand que je veux, je suis capable de donner une distance, sous forme de nombre réel, qui me sépare de mon but.
Mais l'infini n'est pas un réel et donc encore moins un entier...
C'est marrant, car avec un raisonnement par récurrence on pourrait croire que le raisonnement est vrai en l'infini, or, si j'ai bien compris, ce n'est pas le cas.
Quelqu'un pour confirmer/infirmer ce que je dis ?
C'est le paradoxe de Zénon.
"Une flèche est tirée vers une cible. Quel que soit l'endroit où se trouve la flèche sur sa trajectoire, il lui restera encore la moitié de la distance restante à parcourir. De ce fait, la flèche n'atteint jamais la cible."
Cette affirmation est fausse évidemment. En supposant par exemple que la flèche est tirée en 0, et que la cible se trouve à une distance 1, la distance que devra parcourir la flèche, selon la formulation du paradoxe, est exprimée par une série :
La série dans le dernier membre est une série géométrique qui converge vers 2. Multiplié par 1/2, on obtient au final la valeur 1 qui est bien la distance initiale à parcourir. De ce fait, la flèche atteint bel et bien sa cible, même si on exprime sa distance totale à parcourir selon la formulation du paradoxe.
mathématiquement le résultat est vrai.
Ensuite ce qui "gêne", c'est l'idée de savoir combien de "temps" il faudra pour la flèche d'atteindre la cible. Et là, c'est plus un problème physique.
Si on déclare qu'à chaque intervalle régulier de temps (mettons 1s par exemple), la flèche parcourt la moitié de la distance et ainsi de suite, il faut une "infinité" de seconde pour qu'elle atteigne la cible, ce qui se traduit usuellement par "jamais".
On peut en fait donner plus facilement un sens de l'infini en mathématique qu'en physique (il y a même beaucoup de livres intéressant la dessus)
Ceci n'a aucune réalité physique: cela supposerait que, toutes les secondes, ta fléche voit sa vitesse divisée par 2 !
Or ce n'est pas le cas. Si tu étudies un cas pseudo-réel, en supposant que les frottements sont négligeable (donc la vitesse de la flèche est constante), tu observeras que toutes les secondes, la flèche parcours la même distance. Et que si tu veux pratiquer une dichotomie de son trajet, tu obtiens que pour parcourir la moitié de la distance restante, elle met moitié moins de temps.
Tu obtiens donc pour le temps une limite qui tends vers une constante (et non pas vers l'infini comme tu le supposes)
L'exemple que tu as cité est valable mais n'a aucune réalité. Aucun corps physique n'est régit par l'exemple que tu énonces...
heu pour le coup des 0,999999... avec une infinité de 9, il me semble qu'il faudrait l'écrire comme somme de puissance de 10 (c'est le plus simple pour des nombres décimaux, on l'apprends en primaire)
9 dixième plus 9 centième plus... soit
9*0,1 + 9*0.01 + ... + 9*10^-n et n --> infini
= 9*(0,1 + 0,01 + 0,001...)
maintenant, on s'intéresse à :
9 * somme de 1 à n de (10^-n)
ce qui si elle existe a pour limite ce que l'on cherche
donc cette somme partielle fait :
0,9 * somme de 0 à n de (10^-n)
(car le 0 rajoute un 1 dans la somme, ce qui ferait 9,99 et non 0,99)
la série somme de n=0 à l'inf de (1/10)^n converge géométriquement 1/10<1 (bon ça, c'est un peu après la primaire),
sa somme est 1/(1-0,1) = 1/0,9
d'où 0,9999... (avec une infinité de 9) = 0,9 * somme de 0 à inf de (10^-n) = 0,9 * 1/0,9 = 1
ouf.
remarque :
les 0,999... et autres ont des interprétations différentes dans le langage courant :
si il y a un nombre fini de 9 derrière la virgule, c'est différent de 1 bien sur ! (il y'en a même un paquet entre les 2 !)
si on parle du 0,99999999999 qui se transforme en 1 avec la calculatrice, alors là aucun miracle, les machines ont toujours un nombre limité de chiffres dit "significatifs" (12 je crois) après, elle arrondi, c'est triste, mais c'est comme ça
enfin les nombre avec une infinité de chiffres derrière la virgule, ça dépend des cas, mais l'étude par les séries me semble la plus rigoureuse, parce que leur déduction est loin d'être évidente...
Je ne comprends pas l'argument, ou plutot voilà ce que j'en comprend...
Pour qu'une démonstration soit rigoureuse il faut (et peut être même il suffit) qu'elle vraiment difficile à comprendre.
C'est ce que tu as voulu dire ou j'ai rien compris ?
Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.
Alors, aurais-tu l'honneur de nous faire partager ce fameux résonnement qui mettrait tout le monde d'accord ?Comme je l'ais dit précédemment, j'irais reprendre le raisonnement d'un de mes profs demain qui nous avait expliquer les histoires d'arrondis et d'infinis
Ben moi j'avais l'impression que tout le monde était d'accord non ? (sauf R is R) peut-être.
Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.
Tu dis ca parce que justement tu connais pas l'argument en question
Cela n'était pas une façon de conclure, mais juste une proposition contenue dans une remarqueJe ne comprends pas l'argument, ou plutot voilà ce que j'en comprend...
En fait, j'ai proposé de résoudre ce problème par l'étude d'une série (assez simple en plus), car cela me paraissait être la façon la plus rigoureuse, dès lors qu'on considère une infinité de termes (ici 0,9999...).
D'ailleurs, ce n'est qu'une méthode de résolution, cela ne veut pas dire que les autres sont mauvaises.
Je ne dis pas qu'il faut utiliser cette méthode qui peut paraître barbare (mais peut être aussi, parce que je ne sais pas me servir de l'éditeur d'équation) à chaque démonstration !
Pour la flèche, c'est clair que ça ne représente aucune réalité de ce monde.L'exemple que tu as cité est valable mais n'a aucune réalité. Aucun corps physique n'est régit par l'exemple que tu énonces...
Pour en revenir a la flèche on peut s'imaginer, sans passer par les équations mathématiques, que ce paradoxe est faux (rien de nouveau a ca, mais c'est pour essayer de le voir intuitivement).
Il est vrai que la flèche devra parcourir la moitié, puis la moitié de la moitié, et ainsi de suite avant d'atteindre la cible. Ainsi on peut croire qu'une certaine distance restera toujours a parcourir (aussi infime soit elle) et que la cible ne sera jamais atteinte.
Toutefois, le temps mis pour parcourir les distances devenant de plus en plus petites devient lui aussi de plus en plus petit car la vitesse est constante.
Donc au final la flèche parcourera la moitié en un certain temps, puis le quart en 2 fois moins de temps si bien que lorsque la distance devient tres tres petite, le temps pour la parcourir devient lui aussi tres tres petit.
Je ne suis pas d'ccord avec votre démonstration. En effet, mon prof de maths m'a posé le problème, et la démosntration bien que très convaincante n'est pas vraie a mes yeux.
Je m'explique :
Déja sur le fait que 0,999...... serait une limite. Après tout, pourquoi avoir inventé la notation "lim" si on peut écrire ces nombres ainsi, pour moi celà désigne bien une infinité de 9, un nombre irationnel, tout comme pi n'est pas une limite, ce nombre ne l'est pas. Mesn otions de maths n'étant pas excellentes, ce que j'ai dit peut etre faux, mais si ca l'est, alors un 2eme point vient contredire cela.
En effet, le problème demande de démontrer que 0,999... est égal à 1. si on dit que 0,999.... est une limite, ca revient au même que de poser un problème qui dirait : "démontrer que le nombre 1 est égal à 1". Quel intérêt? A la limite demander de réécrire la définition de la limite, mais on ne parle plsu de problème dans ce cas.
Je pense donc qu'il faut prendre le nombre 0,99.... tel qu'il est : une infinité de 9.
Dès lors, la démonstration proposée n'est pas bonne. On multiplie par 10 au départ, du coup, quel que soit le nombre de 9 après la virgule, meme une infinité, il y en aura toujours moins apres avoir multiplié par 10. Etant donné qu'on ne divise pas par 10 par la suite, j'en déduis que cette partie de la démonstration est fausse :
notons a=0.999999999999999999.....
10*a-9=0.999999999999999999.....(1)
c'est à dire
10*a-9=a(2)
le 0,999.... de l'expression (1) ressemble comme deux gouttes d'eau à "a", mais il y a pourtant une infime différence : la virgule a été décalée d'un cran vers la droite. On en déduit que (1) et (2) ne sont pas équivalentes, et que du coup la démonstration est fausse.
Enfin, prenez une TI-82 et tapez 0,999..... et 1, vous verrez qu'elle ne les donne pas égaux.
On en a parlé 50 fois !
Et je rerererererereredonne mon point de vue :
0.999... ça n'existe pas! A moins de le définir comme la somme de la suite géométrique que tout le monde connait auquel cas ça fait 1.
Eh bien étant donné que mon point de vue ne répétait pas ce qui avait été dit avant, j'imagine que quelqu'un aura la gentilesse de m'expliquer le but d'un probleme qui dit "montrer que 0,999....=1" si on le sait déja à la base.
Le but est précisément celui qui a été atteint avec toi, et avec tout ceux qui se sont trouvés confrontés à ce problème avant toi : mettre le doute en s'appuyant sur des trucs mal définis.
Et ainsi faire comprendre que de bien définir les choses et de savoir avec quoi on travaille est trés important.
Tu dois mettre un peu longtemps à taper "0 virgule une infinité de 9" sur ta TI 92 non ?
Excuse la moquerie
Bon ce n'est pas que ça m'amuse particulièrement de répondre pour la n-ième fois à cette question, mais tu touches à un point crucial.
Tu dis que l'on peut écrire ces nombres ainsi. Et bien non on ne le peut pas tant que l'on a pas défini ce que signifiait cette notation des points de suspension. Et la définition n'est pas une infinité de 9 après la virgule (ceci n'a rien d'une définition). La définition c'est bien la limite.
Une fois que l'on a défini cette limite (et surtout montré qu'elle existait), et que l'on peut parler en toute rigueur d'une infinité de décimales, on obtient pas nécessairement un nombre irrationnel. Tu fais une grosse confusion ici.
1/3 = 0.33333..... (même si GuYem n'aime pas cette notation et je ne lui donne pas tort
rationnel !
Effectivement, à part embrouiller les lycéens, aucun intérêt particulier, et pas de problème quand on a compris qu'il fallait bien parler de limite.
Il faut effectivement prendre 0,9999.... tel qu'il est: une limite. Tu inverses juste la problématique.
Une petite confidence: la TI-82 est nulle en maths comme toutes les calculatrices aussi modernes soit-elles
bah et 0.9898989898..ca existe au moins. snif
K, ca éclaire ma lanterne.
+10000 : la calculatrice fait des opérations un milliards de fois plus vite que toi ; mais toi tu réfléchis un milliard de fois mieux que ta calculatrice.Une petite confidence: la TI-82 est nulle en maths comme toutes les calculatrices aussi modernes soit-elles
Disons que l'on comprend ce que cela signifie. Il faut accepter que certaines parties des mathématiques soient enseignées en s'appuyant un minimum sur l'intuition des élèves et que la rigueur pure et dure ne vienne qu'au fur et à mesure (et celà commence dès le CP avec les additions de nombres entiers). Le but n'est pas de couler les élèves avant même qu'ils aient pu s'intéresser aux mathématiques !
Maintenant on comprend que ton nombre est:
Mais on aurait aussi pu comprendre 0,9898989898888888888888888... ......
je te laisse donner la forme rigoureuse ....
Je ne reviendrai pas sur toutes les explications qui montrent que tu trompes. Il y a de nombreuses discussions sur ça. Seulement deux choses.
La première c'est qu'on ne manipule pas les infinis comme les nombres finis. Et c'est une notion difficile en maths.
C'est pour ça que quand tu multiplies par 10, il n'y a pas un 9 de moins puisque ça voudrait dire que pour le nombre de 9 :- 1 <
Tu vois que ça ne tient pas. On ne manipule pas l'infini comme ça. Il est à part.
La deuxième chose, c'est que la calculatrice ça n'est pas une preuve. Il faut que tu saches que la calculatrice travaille avec un nombre fini de décimales (tout comme les ordinateurs d'ailleurs). Même si elle peut travailler avec beaucoup de décimales, elle ne travaillera qu'avec des valeurs approchées. La plupart du temps ça suffit comme précision sauf quand on a besoin de manipuler la notion d'infini.
Ainsi, ta calculatrice verra toujours une différence entre 0,999... et 1 pusqu'elle travaille avec un nombre fini de décimales. La différence entre ces deux nombres est l'expression de sa précision, qui n'est pas infinie justement. Même le
Mais, comme dit GuYem, 0,999... n'est pas un nombre qui existe car on sait pas le manipuler (la preuve) autrement que comme une limite et qui en fait est 1.
Tu dis que ça ne sert à rien d'écrire 1 de 2 manières différentes, mais tous les nombres peuvent s'écrire de plusieurs manières par le biais d'une opération.
Par exemple, 2 peut s'écrire 3-1, 4/2,
L'opération avec les 9 pour écrire 1 sous une autre forme est le passage à la limite de :
Cette somme exprime qu'il y a n 9 après la virgule. Quand tu veux une infinité de 9, tu fais tendre n vers
Tu dis que si on sait que c'est 1, à quoi ça sert de le montrer. Tu prends le problème à l'envers. Si on sait que c'est 1, c'est parce que ça a été démontré. Et c'est justement ce qu'on te demande de refaire pour que tu n'acceptes pas ce résultat comme ça, mais que tu en sois persuadé grâce à la démonstration.
Mais tu as raison de te poser ces questions. Tu touches là à une notion difficile qu'est l'infini. On est tous troublé quand on l'aborde, car c'est une notion qu'on n'a pas l'habitude de manipuler dans nos activités quotidiennes.
N'hésite pas à en rediscuter avec ton prof. Il pourra te donner d'autres éclaircissements.
Merci beaucoup pour ces différents éclaircissements, ca me sera utile
bonsoir,
excusez moi, je suis super nulle mais je ne comprends pas comment on passe de : 9*1=9 donc 0.999....= 1
pouvez vous me l'expliquer ?
merci
