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Peut-on démontrer que 0,99....=1



  1. #1
    stephone

    peut-on démontrer que...

    selon vous, peut-on démontrer que 0,99999...... est égal à 1?

    -----


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  3. #2
    shokin

    Re : peut-on démontrer que...

    10*0.999...=9.9999...
    1*0.999...=0.9999...
    9*0.999...=9
    or 9*1=9

    Donc 0.999...=1.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  4. #3
    erik

    Re : peut-on démontrer que...

    oui,
    notons a=0.999999999999999999.....

    10*a=9.9999999999999....
    donc
    10*a-9=0.999999999999999999.....
    c'est à dire
    10*a-9=a
    d'ou
    10*a-a=9
    9*a=9
    a=1

    CQFD

    Erik

  5. #4
    Antikhippe

    Re : peut-on démontrer que...

    Pour un physicien, oui, mais par pour un mathématicien ! lol

    Soit X = 0,999...
    X x 10 = 9,999...
    D'autre part, 9,999... = 9 + 0,999... = 9 + X
    Nous avons donc : X x 10 = 9 + X
    Ce qui peut s'écrire également : 10 X - X = 9
    Soit 9 X = 9
    Donc X = 1
    On peut donc dire que 0,999... est égal à 1 .

    Cette démonstration est connue, mais...

    Trop tard, je me suis fait devancer... preuve qu'elle est connue ! lol

  6. #5
    Coincoin

    Re : peut-on démontrer que...

    Salut,
    Cette question a été posée de nombreuses fois déjà...
    Il faut savoir que les points de suspension désignent ici par définition la limite : . Donc par définition, ça vaut rigoureusement 1.
    Encore une victoire de Canard !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    zoup1

    Re : peut-on démontrer que...

    selon vous, peut-on démontrer que 0,99999...... est égal à 1?
    oui
    -----------------------------------pour faire plus de 10 caractères
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

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  10. #7
    stephone

    Re : peut-on démontrer que...

    bon ok ca a l'air trop facile pour vous. Mathématiquement c'est du valide? j'prépare le PE et cette démonstration est utilisée. Est-ce de l'irréfutable ou y a -t-il une entourloupe dans le raisonnement?

  11. #8
    folky

    Re : peut-on démontrer que...

    c'est irréfutable ^^

  12. #9
    kron

    Re : peut-on démontrer que...

    Euh j'ai du zapper un bout...

    Si on demontre que 0.999999999... = 1

    Pourrait on continuer cette demonstration comme suit ?

    0.999999999999... = 1

    donc lim x->inf (0.99999999...^x) = lim x->inf (1^x)
    or, lim x->inf (0.9999999999999...) = 0 (puisque 0<0.9999999...<1)
    donc lim x->inf (1^x) = 0
    D'ou 0<|1|<1

    Cela parait assez... absurde non ? Ou alors j'ai oublié un détail important ?
    Life is music !

  13. #10
    shokin

    Re : peut-on démontrer que...

    Citation Envoyé par kron
    or, lim x->inf (0.9999999999999...) = 0 (puisque 0<0.9999999...<1)
    Justement non !

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  14. #11
    kron

    Re : peut-on démontrer que...

    Pourquoi ???
    Life is music !

  15. #12
    zoup1

    Re : peut-on démontrer que...

    parceque cela (puisque 0<0.9999999...<1) ce n'est pas vrai
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

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  17. #13
    kron

    Re : peut-on démontrer que...

    lol j'avais compris que ce n'était pas vrai, mais j'aimerais savoir pourquoi... certes, on a démontré que 0.0999999999... = 1, mais d'un point de vue absolument quantitatif, 1-0.9999999... donnera quelquechose de positif, non ?
    Life is music !

  18. #14
    Coincoin

    Re : peut-on démontrer que...

    D'autre part, lorsqu'on fait un passage à la limite, les inégalités deviennent larges (par exemple pour tout x>0, 1/x>0 et pourtant lim(1/x)=0)
    Encore une victoire de Canard !

  19. #15
    erik

    Re : peut-on démontrer que...

    on a démontré que 0.0999999999... = 1, mais d'un point de vue absolument quantitatif, 1-0.9999999... donnera quelquechose de positif, non ?
    Non,
    1-0.9999999...=0,
    tu sembles oublier qu'il y a une infinité de 9, et donc il n'y a aucune différence (au sens de la soustraction) entre 0.9999999... et 1.

    Erik

  20. #16
    kron

    Re : peut-on démontrer que...

    Disons plutot que je n'ai peut eter pas le niveau adéquat pour bien suivre... Mais d'accord.

    Pour voir si j'ai bien compris :

    pourrait t-on assimiler ce nombre 0.99999... à ceci :

    lim x->inf [1-(0.1^x)] ?
    Life is music !

  21. #17
    R is R

    Re : peut-on démontrer que...

    Citation Envoyé par shokin
    10*0.999...=9.9999...
    1*0.999...=0.9999...
    9*0.999...=9
    or 9*1=9

    Donc 0.999...=1.

    Shokin

    totalement faux comme raisonnement

  22. #18
    Quinto

    Re : peut-on démontrer que...

    Non, c'est totalement correct.
    trouve moi l'erreur du raisonnement...

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  24. #19
    erik

    Re : peut-on démontrer que...

    Bon,

    Ce qui peut être choquant dans les propriétés du nombre 0.9999999..... viens surement de l'enfance, je m'explique :
    Les nombres entiers (puis relatifs) sont facilement comprehensibles/imaginables par un enfant de 7/8 ans, par la suite la découverte des rationnels (les nombres de la forme a/b a et b entiers) est imaginable-pas trop choquante;
    1/3=0.3333333333, bon pas trop de problèmes ("je coupe la tarte en trois, ça tombe pas juste, y'a une infinité de décimales, mais bon c'est juste un tiers de tarte")

    Par la suite (assez tard) on viens nous apprendre que les nombre rationnels ne sont pas suffisant, qu'il faut rajouter des nombres (pour "boucher les trous") pour finir par former les nombres Réels. Et la hic, on ne nous dit pas comment sont construit ces nombres réel-pas rationnels, généralement on se contente d'un "des nombres avec ce qu'on veut comme chiffres après la virgule".

    En fait quand on creuse un peu on s'apperçoit que les nombres réels peuvent être construit (y'a d'autre façon de les construire mais c'est équivalent) à l'aide de DDI (développement décimaux illimités), lors de cette construction on est amené à définir des classes d'équivalences d'écriture des nombres réels (c'est à dire des façons qui sont différentes d'écrire un nombre réel, mais qui en fait représente exactement le même nombre). Cette construction des réel permet de constater que 0.999999.... et 1 sont deux écritures du même nombre.

    On nous a menti quand on était gamin, un nombre réel n'est pas un nombre avec n'importe quoi après la virgule, en fait quand il y'a une infinité de 9 après la virgule on ne l'écrit pas comme ça.
    0.9999999999999999 on écrit (et c'est strictement le même nombre) 1
    1.9999999999999999 on écrit (et c'est strictement le même nombre) 2
    ....

    Erik

  25. #20
    R is R

    Re : peut-on démontrer que...

    Citation Envoyé par Quinto
    Non, c'est totalement correct.
    trouve moi l'erreur du raisonnement...
    La voici
    Imaginons que tu prenne 0.99 avec 10 9 apres la virgule
    Tu multiplie par 10:

    9.999999999
    Tu enleve une fois 0.9999999999 mais tu n'obtiens pas 8, donc tout raisonnement de multiplication et soustraction addtion est faux puisqu'ils se basent sur un arrondi

  26. #21
    kron

    Re : peut-on démontrer que...

    Citation Envoyé par shokin
    10*0.999...=9.9999...
    1*0.999...=0.9999...
    9*0.999...=9
    or 9*1=9

    Donc 0.999...=1.
    Ici, shokin ecrit 9*0.999999...=9
    Mais dans ce cas, il s'appuie sur le fait que 0.999...=1
    Or, c'est ce qu'il faut demontrer.
    Il ne peut pas utiliser la résultat pour faire sa demo, si?

    Logiquement, on ne peut pas donner de valeur exacte a 9*0.99999...
    Life is music !

  27. #22
    Quinto

    Re : peut-on démontrer que...

    Citation Envoyé par R is R
    La voici
    Imaginons que tu prenne 0.99 avec 10 9 apres la virgule
    Tu multiplie par 10:

    9.999999999
    Tu enleve une fois 0.9999999999 mais tu n'obtiens pas 8, donc tout raisonnement de multiplication et soustraction addtion est faux puisqu'ils se basent sur un arrondi
    Mais en fait il y'a des pointillés si je ne m'abuse, donc l'écriture est illimité et c'est juste.

  28. #23
    R is R

    Re : peut-on démontrer que...

    Citation Envoyé par kron
    Ici, shokin ecrit 9*0.999999...=9
    Mais dans ce cas, il s'appuie sur le fait que 0.999...=1
    Or, c'est ce qu'il faut demontrer.
    Il ne peut pas utiliser la résultat pour faire sa demo, si?

    Logiquement, on ne peut pas donner de valeur exacte a 9*0.99999...

    Donc leur démonstration part sur un arrondi de ce qu'ils doivent démontrer, CQFD

  29. #24
    R is R

    Re : peut-on démontrer que...

    Citation Envoyé par Quinto
    Mais en fait il y'a des pointillés si je ne m'abuse, donc l'écriture est illimité et c'est juste.

    Non ce n'est pas juste car comme l'infini est infini, tu ne peux considérer que 10*0.999_ - 0.99_ = 9

  30. Publicité
  31. #25
    kron

    Re : peut-on démontrer que...

    Citation Envoyé par R is R
    Donc leur démonstration part sur un arrondi de ce qu'ils doivent démontrer, CQFD
    Par contre, la demonstration d'erik ne semble pas avoir le meme probleme

    notons a=0.999999999999999999.....

    10*a=9.9999999999999....
    donc
    10*a-9=0.999999999999999999.....
    c'est à dire
    10*a-9=a
    d'ou
    10*a-a=9
    9*a=9
    a=1
    En aucun cas, il n'utilise le fait que 0.99999...=1

    Donc son raisonnement est correcte. Non ?
    Life is music !

  32. #26
    R is R

    Re : peut-on démontrer que...

    Citation Envoyé par kron
    Par contre, la demonstration d'erik ne semble pas avoir le meme probleme



    En aucun cas, il n'utilise le fait que 0.99999...=1

    Donc son raisonnement est correcte. Non ?
    bah logiquement le raisonnement n'est pas correct a partir du moment ou il multiplie par 10 (du point de vue de l'infini de 9)

  33. #27
    kron

    Re : peut-on démontrer que...

    Donc on a pas le droit d'associer dans une démonstration un nombre arrondi et un nombre exact ?
    Life is music !

  34. #28
    g_h

    Re : peut-on démontrer que...

    Citation Envoyé par kron
    Ici, shokin ecrit 9*0.999999...=9
    Mais dans ce cas, il s'appuie sur le fait que 0.999...=1
    Or, c'est ce qu'il faut demontrer.
    Il ne peut pas utiliser la résultat pour faire sa demo, si?

    Logiquement, on ne peut pas donner de valeur exacte a 9*0.99999...
    Non, non, c'est juste, on trouve la 3eme egalité par une soustraction membre à membre de la 1ere et de la 2eme.

  35. #29
    invite765732342432
    Invité

    Re : peut-on démontrer que...

    Citation Envoyé par kron
    Ici, shokin ecrit 9*0.999999...=9
    Mais dans ce cas, il s'appuie sur le fait que 0.999...=1
    Pas du tout...
    Il déduit cette ligne de la soustraction des 2 précédentes:
    10*0.999...=9.9999...
    1*0.999...=0.9999...

    donne:
    (10-1)*0.999...=9.9999...-0.9999...
    d'où 9*0.999...=9

  36. #30
    erik

    Re : peut-on démontrer que...

    bah logiquement le raisonnement n'est pas correct a partir du moment ou il multiplie par 10 (du point de vue de l'infini de 9)
    Pas d'accord,
    Le raisonnement est parfaitement correct (je t'invite à lire mon post #19, ce n'est pas une preuve, mais ça peut faire cogiter), donc Le raisonnement est parfaitement correct disais je donc :
    On peut écrire 1/3 0.3333333333333333333.....
    Et on a bien 10*1/3=3.33333333333333333.....

    la question du nombre infini de chiffres aaprès la virgule et le résultat que l'on obtient quand on multiplie par 10 a très bien été expliqué par Deep_turtle précédemment : la virgule se déplace cers la droite.

    J'ai parfaitement le droit (mathématiquement parlant) de multiplier 0.999999.. par 10,
    et c'est inévitable on obtient 9.999999.....

    Erik

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