Peut-on démontrer que 0,99....=1

[martini_bird]

Hello world !

L'erreur que tu fais quetzal, bien pardonnable évidemement, c'est d'imaginer qu'un nombre avec une infinité de décimales non nulles se comporte comme un nombre entier, qu'on peut lui associer une représentation dans le monde réel, qu'il obéit aux même règles que les autres nombres, etc.

Mais, comme j'ai tenté de l'expliquer dans la FAQ, tout comme d'autres l'ont détaillé ici, il n'y a pas d'autre moyen en mathématiques pour définir 0,99... que de passer par la notion de limite.

L'autre erreur, très répandue, est de raisonner avec une fausse idée de ce qu'est la topologie étonnamment complexe de la droite réelle.

Bref, tout ça pour dire qu'il n'y a aucun doute sur la véracité de l'expression en mathématiques.

Cordialement.
-----

[invitec053041c]

Je suis curieux de savoir comment tu définis ton 0,00...1 ??
Tu dis que ton 1 est à l'infini?
Ca me fait un peu penser à la manière dont on compte les entiers relatifs:

0->0
1->1
-1->2
2->3
-2->4 ...

Avec ta manière de faire on compterait les relatifs comme cela:
0->0
1->1
2->2
... et on se balade jusqu'à l'infini, et après on embraye sur les négatifs...
Bref, ton 0,0..1 ne tient pas debout non plus.

[invite0e4ceef6]

pour moi ce nombre n'est qu'une ecriture, il n'a aucun sens propre ni aucune réalité..

pour obtenir ce type de nombre il est nécéssaire de faire réference aune fraction. il n'existe pas pas eux-même.

l'on connait 1/3 = 0.3| et 2/3=0.6|
maintenant existe-t-il n fraction tel que l'ecriture 0.9| soit justifiable.

si vous démontrez que ce chiffre a une réalité numérique audela de sa simple représentation formelle.. bravo

mais ce nombre n'a pas d'exitence il ne saurait exister sans sa fraction et tendre vers l'infinie de lui-même..

cela fonctionne pour 1/3, 2/3, 1/9, mais aucune fraction ne fait exister ce nombres, qui est une formulation numérique d'une fraction réelle.

par conséquant et avant toute chose, avant même de justifier que 0.9| = 1 il faut d'abord justifier l'existence de ce nombre, c'est a dire trouver la fraction apartir duquel celui-ci tend vers l'infini, par une itération infinie de la réduction de son reste. (le vocabulaire n'est pas bon, mais bon, hein)

comme il a été dit:
si 0.9| existe alors 0.0...1 devrais avoir une existence au même titre que 2/3 compense 1/3 et 0.3| + 0.6| = 1

opération stricement similaire.

or l'on ne saurait trouver de nombre infini se terminant après une suite infinie de 0 par un 1.. si ce chiffre ne peux exister, et comme celui-ci est le reste vers 1 de 0.9| alors 0.9| ne peux lui aussi exister.

et de fait, vouloir résoudre l'egalité entre 0.9| = 1 est une opération imposible, puisque le nombre 0.9| n'a aucune réalité mathématique.
au mieux il n'est pas définie dans le système usuel de calcul.

de fait résoudre 0.9| = 1 equivaut a poser 0 = 1 ou ensemble vide = 1, ou du moins le signe equivalent a l'inéxistence d'un terme de l'egalité.

0 etant stricement non equivalent a 1 tout deux faisant référence a des réalité numérique differente l'on ne saurait en aucun cas; ni tenter, ni pouvoir résoudre l'égalité 0.9| = 1

pouvoir le faire, et résoudre cette egalité, ne signifirais absolument rien, ou pire que les système utilisé sont eux-même biaisé en nature, car ils permettent de faire la preuve de l'égalité entre un non-objet mathématique et un etre mathématique bien définie et ayant un sens formel.

donc si vous trouvez la fraction a l'origine de 0.9| ... ma demo est fausse, sinon, elle est vraie. mais pas de chance, cette fraction n'existe pas..

donc a+

[Gwyddon]

J'aime la pédagogie je crois, puisque je répète.

Tu demandes l'existence de 0.9| ? La voilà :





EDIT : au passage bravo à Sodoukan pour son message #119

[invitebe0cd90e]

ok, donc si je comprends bien, il n'y a que les fractions qui existent. donc racine de 2, Pi, n'existent pas... c'est un peu contrariant...

et tu cherches une fraction qui soit egale à 0.999...., tu vas rire, jen ai une : 1/1..

et si tu crois que fraction = division, tu te fourre le doigt dans l'oeil jusqu'aux orteils.

si maintenant tu parle de l'ecriture, elle est justifiée :



formule qui est parfaitement definie..

pour moi ce nombre n'est qu'une ecriture, il n'a aucun sens propre ni aucune réalité..

tu as parfaitement raison, et c'est le cas aussi de 1,2,3, 3/4, triangle et de tous les objets mathematiques...

bienvenue dans le monde formel !

[invite4ef352d8]

il y a une évolution, au moins tu te rend compte que de le supposer différent de 1 n'est pas possible, et ce que tu dit ici est sensé et cohérent (... ce qui n'était pas vraiment le cas quelque page plus haut...)


mais malheuresement, c'est faux. on ne peut pas dire que cette suite décimal n'existe pas. car une ecriture décimal d'un nombre c'est uniquement définit comme une suite de chiffre, donc toute écriture décimal existe : 0.9999 ... corespont a la suite constant égal a 9, il n'y a aucune contradiction avec cela. (contrairement aux choses baroque mentioné plus haut du genre 0. 0000 ... 000 1 ou 0.99...999 8)

si tu dit que 0.999.... n'existe pas tu serai obligé de reconaitre que 0.3333... n'existe pas.

un détail IMPORTANT : ton argument sur le fait qu'il n'existe pas de fraction égal a 0.99... ne tien pas la route : il n'existe pas non plus de fraction égal a racine de 2 ou Pi, et pourtant ces nombres existent belle et bien.


donc ce nombre existe et il faut lui donner un sens.

hors ceci n'est pas difficle : on sais que si x=0,a1a2a3...an... ou a1,a2.. etc sont des chiffres (de 0 a 9) alors x est (par définition, ce point est indiscutable) la limite de la serie : a1/10 + a2/100 + .. +an/10^n+...

et bien il ce trouve que 9/10+9/100+9/1000 +... +9/10^n tend vers 1., et donc que 0.999... = 1

[invite0e4ceef6]

inacceptable!!! c'est bien du leibnitz tout craché ça !! avec son calcul intégral a deux cent d'euros

bon vas pour ce chiffre, j'en tente une dernière peut-etre que cela vous feras revenir a la raison

si 0.9| tend vers 1 comment peut-il etre 1 ??

il y là une différence fondamentale entre ces deux nombres... vos écritures elle-même le démontre.. l'infini vers lequel tend 0.9| est un infini, terme qui par esssence est une infinitude.. alors comment une infinitude peut-elle égale formelement a une finitude??

ce nombre n'en finit de tendre vers 1 mais ne peux lui etre egal, car 1 contient aussi une infinité de zero et propotionellement en divisant 0.9| / 1.0| l'on obtient jamais 1.. ces deux deux nombres sont toujours inégaux.

cela me rapelle le aprradoxe de zénon d'élée et de la flèche qui tend elle aussi vers l'infinie de zero au point que l'on puisse croire qu'elle soit a l'arret. et qu'elle ne puisse atteindre la cible??

démontrez-vous le mouvement de la même manière

[Hamb]

quand tu dis que f(x) tend vers 1 ca veut dire que lim f(x) = 1 non ?
de la meme facon la suite définie par gwyddon tend vers 1, et comme 0,99... est sa limite il est égal à 1

[invitebe0cd90e]

inacceptable!!! c'est bien du leibnitz tout craché ça !! avec son calcul intégral a deux cent d'euros

bon vas pour ce chiffre, j'en tente une dernière peut-etre que cela vous feras revenir a la raison

si 0.9| tend vers 1 comment peut-il etre 1 ??

il y là une différence fondamentale entre ces deux nombres... vos écritures elle-même le démontre.. l'infini vers lequel tend 0.9| est un infini, terme qui par esssence est une infinitude.. alors comment une infinitude peut-elle égale formelement a une finitude??

ce nombre n'en finit de tendre vers 1 mais ne peux lui etre egal, car 1 contient aussi une infinité de zero et propotionellement en divisant 0.9| / 1.0| l'on obtient jamais 1.. ces deux deux nombres sont toujours inégaux.

cela me rapelle le aprradoxe de zénon d'élée et de la flèche qui tend elle aussi vers l'infinie de zero au point que l'on puisse croire qu'elle soit a l'arret. et qu'elle ne puisse atteindre la cible??

démontrez-vous le mouvement de la même manière

merveilleux!!!! tu viens de demontrer que la fleche n'atteint jamais sa cible !! je te propose de le demontrer "en direct", moi avec un arc, toi en guise de cible blague a part je ne sais pas comment il faut le dire, je vais reessayer :

0.9| est un nombre, ce n'est pas une suite, il ne tend vers rien il ne bouge pas !!!!!!!!!

ou si tu prefere, 0.9999... n'est pas la fleche, c'est la cible

[Deeprod]

si 0.9| tend vers 1 comment peut-il etre 1 ??

Reflechit un peu à ce que tu écrit, 0.9| est un nombre, et un nombre à ma connaissance ne "tend" pas vers quelque chose.

0.9| est la LIMITE en l'infini d'une suite qui tend vers 1. Cad que l'on est egal a 1 non ???

Edit : Grillé

[invite0e4ceef6]

et bien il ce trouve que 9/10+9/100+9/1000 +... +9/10^n tend vers 1., et donc que 0.999... = 1

hm, faudrait vous mettre d'accord deja, soit il tend vers l'infini soit il n'y tend pas..

si c'est un nombre, defini alors il a une position qui ne peut-etre 1 sinon on le nomerais 1..

difficile que ces simples chose.. mais quand veux croire a quelquechose l'on finit bien par trouver un moyen que cela le soit.. une apprximation mathématique ou un moyen pour passer outre la formalité propre d'une ecriture numérique anidentique..

quand au parradoxe de zenon, il se résoud d'une autre manière, celle des infini générlament présenté présente précisément le dafaut dans lequel zenon souhaitait faire tendre son parradoxe.. vos solution ne sont que des rustines.. et vous le savez très bien.. faite des math pas de la physqiue et accepter que 0.9| # 1 simplement parceque ce sont deux ecritures différentes mais pas d'un même nombre,puisque comme tu le dis tout deux sont très bien defini..

a+

[Theyggdrazil]

J'ai compris ! Quetzal en est encore aux mathématiques de la Grèce ancienne, il refuse l'existence des irrationnels

Et il a bien raison, puisque selon la légende le premier grec à avoir affirmé leur existence a été assassiné

[Theyggdrazil]

hm, faudrait vous mettre d'accord deja, soit il tend vers l'infini soit il n'y tend pas..

si c'est un nombre, defini alors il a une position qui ne peut-etre 1 sinon on le nomerais 1..

difficile que ces simples chose.. mais quand veux croire a quelquechose l'on finit bien par trouver un moyen que cela le soit.. une apprximation mathématique ou un moyen pour passer outre la formalité propre d'une ecriture numérique anidentique..

quand au parradoxe de zenon, il se résoud d'une autre manière, celle des infini générlament présenté présente précisément le dafaut dans lequel zenon souhaitait faire tendre son parradoxe.. vos solution ne sont que des rustines.. et vous le savez très bien.. faite des math pas de la physqiue et accepter que 0.9| # 1 simplement parceque ce sont deux ecritures différentes mais pas d'un même nombre,puisque comme tu le dis tout deux sont très bien defini..

a+

Tu n'as toujours rien compris, c'est pas possible...

La SUITE 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... + 0. (n fois 0) 9, tend vers 0.9| quand n tend vers l'infini. Mais cette suite tend également vers 1, or dans R on a l'unicité de la limite, ce qui prouve que 0.9| = 1.

Tu confonds la suite et sa limite, tu n'as rien compris à ce qu'on te raconte...

[ABN84]

hm, faudrait vous mettre d'accord deja, soit il tend vers l'infini soit il n'y tend pas..

si c'est un nombre, defini alors il a une position qui ne peut-etre 1 sinon on le nomerais 1..

difficile que ces simples chose.. mais quand veux croire a quelquechose l'on finit bien par trouver un moyen que cela le soit.. une apprximation mathématique ou un moyen pour passer outre la formalité propre d'une ecriture numérique anidentique..

quand au parradoxe de zenon, il se résoud d'une autre manière, celle des infini générlament présenté présente précisément le dafaut dans lequel zenon souhaitait faire tendre son parradoxe.. vos solution ne sont que des rustines.. et vous le savez très bien.. faite des math pas de la physqiue et accepter que 0.9| # 1 simplement parceque ce sont deux ecritures différentes mais pas d'un même nombre,puisque comme tu le dis tout deux sont très bien defini..

a+

mais on est d'accord.
9/10+9/100+9/1000 +... +9/10^n est une suite elle tend vers 1
sa limite 0,9l est un nombre.
et comme une suite tends vers sa limite et que cette suite tends vers 1, alors 0,9l=1

[Gwyddon]

La suite tend aussi vers , ce qui prouve que ; bref ce n'est qu'une histoire d'écriture...

[invitebe0cd90e]

quand au parradoxe de zenon, il se résoud d'une autre manière, celle des infini générlament présenté présente précisément le dafaut dans lequel zenon souhaitait faire tendre son parradoxe.. vos solution ne sont que des rustines.. et vous le savez très bien.. faite des math pas de la physqiue et accepter que 0.9| # 1 simplement parceque ce sont deux ecritures différentes mais pas d'un même nombre,puisque comme tu le dis tout deux sont très bien defini..

a+

ok, donc maintenant on a un paradoxe qui tend vers l'infini, formidable !! de mieux en mieux !!!

je le dis les 2 sont tres bien defini.. et les 2 sont egaux a 1. d'ailleurs on peut le nommer 1 si on veut, ce ne sont que 2 ecritures differentes pour un meme nombre, comme 1 ou 1.0 ou 2/2..

et au passage, ca me fait hurler de rire que toi tu dises ca :

difficile que ces simples chose.. mais quand veux croire a quelquechose l'on finit bien par trouver un moyen que cela le soit..

parce que c'est exactement ce que tu fais... tu t'accroches a une intuition normale mais fausse, et tu est pret a debiter n'importe quelle connerie pour le """"justifier""""""

et ca :

faite des math pas de la physqiue

tu veux m'apprendre mon boulot ???

je te rappelle que tu as dis des le debut que tu n'y connaissais rien en maths. mais tu veux nous donner des lecons, et en plus tu prends un ton a la limite du condescendant..

donc c'est officiel, tu es un genie, et nous sommes tous des cretins.

tente une experience rigolote : si tu n'as pas confiance en nous, envoie un mail a un ou deux "vrais" chercheurs en maths, des pros, des vrais, (parce que nous, on est de la merde) et pose leur la question, va sur le site de l'ens, ou de n'mporte quelle fac de maths et demande leur (je suis pas sympa de dire ca, les pauvres..) ..

mais je supposes que eux aussi ils se trompent. heureusement que tu es la pour leur montrer la voie !!!

[invite4ef352d8]

hm, faudrait vous mettre d'accord deja, soit il tend vers l'infini soit il n'y tend pas..

si c'est un nombre, defini alors il a une position qui ne peut-etre 1 sinon on le nomerais 1..

j'ai pas dit que 0.99... tendait vers 1. j'ai dit que que la somme des 9/10^k pour k de 1 a n tend vers 1 quand n tend vers plus l'infinit.

de la meme facon que la somme des 3/10^k pour k allant de 1 a n tend vers 1/3, ou que si on note ak la k-iemme décimal de Pi alors sommes ak/10^k pour k de 1 a n tend vers Pi.

[ABN84]

je penses que Mediat a tout compris:

Si ça se trouve tout cela est un complot, en fait tout le monde sait que 0,9 = 1, mais un sous-groupe de modos psychopathes, sous différents pseudos, veut tester combien de temps il nous faut pour péter un cable.

D'ailleurs si ce fil devient verrouillé ce sera la preuve que j'ai raison et que le SGMP (sous-groupe de modos psychopathes) prend peur car je suis sur le point de les démasquer ...

[Gwyddon]

Bonsoir,

Merci de s'en tenir à la critique des idées.

Pour la modération,

Gwyddon

[Médiat]

Merci de s'en tenir à la critique des idées.

Je suppose que tu t'adresses à moi, si je me trompe, je m'en excuse par avance.
Il me semble que même si je ne peux accueillir toute la misère mathématique du monde, j'en ai déjà pris plus que ma part en expliquant et ré-expliquant encore la même chose de plusieurs façons différentes sur ce fil et sur un autre que tu as verrouillé récemment sur cette dernière intervention :

Oui tu as raison, on a assez rit. Mais en l'occurence le meilleur conseil que l'on puisse te donner c'est d'ouvrir, au moins une fois dans ta vie, un livre de maths...

Du coup j'ai du mal à comprendre, me serais-je trompé quelque part ?

[enderalartic]

sérieursement, il sert à quoi ce fil? qu'il y ait des controverses en physique je veux bien, mais ce genre de chose fait quand meme parties des trucs archi démontrés..

[ABN84]

je crois que gwyddon s'adressait à un intervenant qui a posté un message diffamatoire. message supprimé d'ailleur

[invited7005a5b]

Bon je me lance; Je serais peut etre a cote de la plaque mais tant pis.Tout d'abord dire que 0,99999....=1 est tres aberrant en mathematiques, la structure algebrique de R interdit ce genre de confusion, je me lance sur une demonstration.
Posons a=0,99999999.....
Designons par b le nombre de 9 present dans le chiffre a.
On aura 10a=9,999999999.... et 10a aura (b-1) 9 apres la virgule. En somme 10a-9=0,9999999999....=c et ce nombre c aura (b-1) 9, alors que a lui comprend plutot b 9.
En conclusion, C#a, soit 10a-9#a et donc a#1
Certains pourrons prendre comme defaut a ce raisonnement le fait que j'ai quantifié b;En tout cas meme si b est infini, on peut toujours ecrire ce qui precede et on aura a#1

[invite0e4ceef6]

hm, bon OK je n'ai toujours pa compris pourquoi ni comment ce nombre pourtant différent de l'autre, qui normalement est situé avant 1 dans la suite des nombres, est egal a un.

vos raisonement dépaase de loin ce que je connais en math.. mais toutefois il est vrai que vos arguement ne sont pas super clair, puisqu'ils doivent reposer sur des concept mathématique qui me semble aller a l'encontre du principe deposition d'un nombre dans une suite..

cela vas ausi a l'encontre du principe d'identité.. et mesemble former une loi bien étrnage quand a l'estimation des intervale absolue entre deux nombre pourtant disctinct et toujours distinguible a une profondeur p.

mais bon. je me doute bien que vous ne pouvez qu'avoir raison, même si cela n'est vraiment pas evident de voir comment vous combler le deficit infinie de postion entre ces deux nombres..

a moins de croire tout ce que vous dites bien sur.. et croire j'aime pas trop..

donc j'accepte que 0.9| ne soit pas distinguible de 1 bien que je ne sache pas vraiment pourquoi.. c'est pô grave je n'ai simplement pas les connaissance sufisante pour comprendre vos raisonements.

A+

[Médiat]

je crois que gwyddon s'adressait à un intervenant qui a posté un message diffamatoire. message supprimé d'ailleur

Je comprends mieux, et je préfère m'être trompé, mais n'ayant pas vu ce message supprimé...

[Médiat]

Certains pourrons prendre comme defaut a ce raisonnement le fait que j'ai quantifié b;En tout cas meme si b est infini, on peut toujours ecrire ce qui precede et on aura a#1

Dans ce que tu viens d'écrire b = or donc a = c ; tu viens de démontrer que 0,9 = 1.

[Médiat]

ce nombre pourtant différent de l'autre

cela vas ausi a l'encontre du principe d'identité

deux nombre pourtant disctinct

deficit infinie de postion entre ces deux nombres..

croire j'aime pas trop..

C'est pourtant bien ce que tu fais à quatre reprises dans un seul post : croire.

[invite0e4ceef6]

deux nombres distincts, bien qu'ils le sont, leur ecriture diffère dans le principe même ordonancement et de position. cela leur donne deux identité propre.

en physique j'accepterais votre raisonement que lorsque un nombre est infiniment proche d'un autre l'on ne puisse tenir pour réel la différence qui les sépare.

en math, l'infinie est l'infinie et il n'y a pas le limite a une abstraction a une idée. le principe d'identité n'est pas élliminable par un calcul aussi diabolique qu'il soit.

penser 0.9| c'est penser un etre abstrait, et non une réalité physique.

ici l'ecriture de ce chiffre montre qu'il y auras toujours un intervalle abstrait possible entre lui et 1

alors qu'avec des intervales réel, (physique) la chose est impossible..

en fait cela m'étonne beaucoup de la part de mathématicien que vous puissiez faire une telle hérésie abstraite. de la part de physicien, je veux bien ils sont tenu a un principe de réalité qui limite l'abstraction pure.

donc pour finir si l'on peux poser pour un 0.9 un intervale depositionnement abstrait, 0.1 entre lui et un. entre 0.9| et 1 par le simple fait de l'ecriture, qui les différencie, (preuve ontologique, ça vous dit quelquechose) l'on peux toujours tenir qu'il existe un etre abstrait infiniment petit entre 0.9| et 1

ici il faut bien s'entendre, petit comme grand est un terme relatif, cet interval n'est ni petit ni grand réellement, il ne semble petit que par rapport a 1 ou a 0.9|.. si l'on multiplie arbitrairment par +infinie.. cette intervalle la distance entre 0.9| et 1 est elle aussi infinie..

seul un nombre infini peux résoudre l'idée abstraite de 0.9|

d'ailleurs, 1 - 0.9| = +infini et peux importe l'ecriture abstraite. l'idée et les principe sont plus important que la réalité. une idée tant quelle reste pensable a une existence, or ici vous ne faite que nier la réalité de l'infini comme représentation..

et si l'infini n'existe pas 0.9| ne saurait exister lui-aussi, et de la le calcul intégral de leibnitz puisqu'il démontre la réalité d'un objet numérique inexistant est aux lui aussi.. bref, badaboum..

mais en physique j'accepterais votre raisonement de limitation de l'abstrait de la "forme" par une idée de réel.

[Gwyddon]

Salut,

POur répondre à Médiat : je ne m'adressais pas à toi du tout, mais je postais ça par rapport à un message supprimé qui était assez violent. Pardon si cela a pu entretenir une confusion ..


Sinon pour quetzal : l'ontologie n'a rien à faire en maths, on a utilisé des arguments rigoureux, point barre. Si tu veux réfuter la démonstration, il te faut en pointer la faille mathématique, or il se trouve - et c'est rare de ma part d'être aussi affirmatif, en tant que physicien - que la démonstration ne souffre d'aucune faille mathématique dans le cadre de l'analyse standard.

[polo974]

Prenons 1/3 en base 10 (celle de "tous les jours").
1/3 = 0.33333.... = 0.3

Mais bon, si on utilisait la base 3 (là par la suite, je note la base en indice)
1/3₁₀ = 1/10₃ = 0.1₃

on a donc:
0.33333....₁₀ = 0.3₁₀ = 0.1₃
donc suivant la base utilisée, l'écriture d'un même nombre peut se faire de façon finie ou non, mais c'est le même nombre.

Et c'est comme ça que 1/5₁₀ qui se note simplement 0.2₁₀ pour M. Tout_le_monde se retrouve sous la forme infinie: 0.0011₂ en binaire vaguement utilisé dans les ordis pour mémoire.

Il ne faut donc pas confondre un nombre et sa représentation dans une base donnée.