Suite definie par une fonction

[invite1883c266]

bonjour ,
j'aimerais avoir quelques précisions sur la redaction:
j'ai une fonction f=1/2 (x+a/x)
et une suite Un par Un+1=f(un)
j'étudie les variation:bon pas de pb
je dois montrer que Un définie et pour n>1 Un >racine (a)

j'ai procédé par récurrence en disant que Uo existe
U1 >racine de a en posant U1=f(Uo) j'ai ensuite étudié le signe de U1-racine (a) que j'ai trouvé positif donc vrai pour U1
par hérédité si pour un entier n Un >racine (a) ,alors comme f croissante sur [a +inf[ Un+1>racine (a)=f(racine (a))
je conclue ....
j'ai par fois du mal à mettre en relation la fonction et la suite ,donc j'aiermais savoir si le chemain ce dessous est valable !
pour trouver sa limite je montre qu'elle est décroissante et minorée par 1/2(a+1) (je n'en sui pas sur ,avec cela je trouve racine (2a ) comme limite ,il me semble que je dois trouver racine (a) ,donc ma minoration doit etre fausse ...

ensuite on me demande un DL de f au voisinage de racine (a) a l'ordre 2
le fonction ne ressemble pas a un cas "remarquable " de DL ,j'ai peu d'idée pour pousuivre ,seul tylor young m'est veue a l'idée ,a mon avis mauvaise idée car longue fastidieuse et compliquée!
merci
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[invite1883c266]

il y a personne?

[invite0fb72cf8]

Commence par montrer que si Un est supérieur à sqrt(a), alors sqrt(a) <= Un+1 <= Un. Ensuite, autour de sqrt(a), qui est un point fixe de ton itération, tu peux introduire des coordonnées réduites: Vn = Un - sqrt(a). Alors:

Vn+1 = f'(sqrt(a)) Vn + 1/2 f''(sqrt(a)) Vn^2 + etc...

Dans ton cas, le premier terme du développement de Taylor est nul.

Adhémar

[invite57a1e779]

ensuite on me demande un DL de f au voisinage de racine (a) a l'ordre 2
le fonction ne ressemble pas a un cas "remarquable " de DL ,j'ai peu d'idée pour pousuivre ,seul tylor young m'est veue a l'idée ,a mon avis mauvaise idée car longue fastidieuse et compliquée!
merci

Le calcul de f', puis de f" n'est ni fastidieux, ni compliqué !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1883c266]

ok pour taylor young ! seulement on m'a appris de ne pas trop utiliser cette formule autant que possible ,donc je me demandais si 'il y avait une autre méthode!

[invite0fb72cf8]

ok pour taylor young ! seulement on m'a appris de ne pas trop utiliser cette formule autant que possible ,donc je me demandais si 'il y avait une autre méthode!

Oui, il te suffit de prouver que sqrt(a) <= Un+1 <= Un.

De là, tu vois que ta suite Un est décroissante, et bornée inférieurement. Tu peux en déduire que lim Un existe (et dans ce cas, tu peux même montrer que la limite est égale à sqrt(a) ).

[inviteb2b7aebd]

d abord, il faut noter que ( U0 >0 )-----> (Un >0 pour tout n)
ta montrer que U1>sqrt(a)
supposons que Un > sqrt(a)
on montre que U(n+1) > sqrt(a)
?????????????????????????????? ?????

on 2 U(n+1) = Un + a/Un
on multiplie par Un
---------> 2U(n+1) Un=Un*Un + a
2U(n+1) Un - 2sqrt(a)*Un=Un*Un + a - 2sqrt(a)*Un
2Un[U(n+1)-sqrt(a)]=[Un-sqrt(a)]^2
si Un-sqrt >0 alors U(n+1)-sqrt(a) >0
donc Un > sqrt(a)

cqfd

[invite57a1e779]

Oui, il te suffit de prouver que sqrt(a) <= Un+1 <= Un.

Cela ne répond pas à a question :

ensuite on me demande un DL de f au voisinage de racine (a) a l'ordre 2

[invite0fb72cf8]

Cela ne répond pas à a question :

Effectivement ... Bref, faudra passer par Taylor.

[invite57a1e779]

je dois montrer que Un définie et pour n>1 Un >racine (a)

j'ai procédé par récurrence ... je conclue ...
pour trouver sa limite je montre qu'elle est décroissante et minorée par 1/2(a+1) (je n'en sui pas sur ,avec cela je trouve racine (2a ) comme limite ,il me semble que je dois trouver racine (a) ,donc ma minoration doit etre fausse ...

Si, pour , on a , alors la suite est minorée par ...

[invite1883c266]

ok bas merci pour l'aide!!