Bonjour,
Je sais qu'on dit qu'une relation R est dite relation d'équivalence si elle vérifie réflexivité, symétrie et transitivité.
Cependant je lis une feuille d'exercices et je ne comprends pas comment prouver ceci :
"Sur l'ensemble des nombres entiers, on écrit "xRy si x+y est pair". Démontrer que R est une relation d'équivalence"
Je te fais la réflexivité avec des détails :
la réflexion est réflexive signifie que
pour tout x, on a xRx, ce qui signifie que
pour tout x, x+x est pair, ce qui signifie que
pour tout x, 2x est pair,
ce qui est évidemment vrai.
Donc, la relation est réflexive.
Je suis d'accord pour la réflexivité, mais comment fait on après pour la symétrie et la transitivité ?
Il faut bien montrer les trois non ?
La symétrie c'est, la transitivité, c'est
Il te suffit de traduire tout ça en terme de parité de sommes, et tu t'apercevras qu'il n'y a presque rien à dire, tellement c'est évident.
Oui, je connais bien la définition de symétrie et transitivité, mais je ne vois pas ce que la parité implique justement ?!
(je précise que je l'ai étudié en cours, mais jamais appliqué, alors je bloque =/)
Comment traduis-tu, en français,
Et bien à vrai dire je ne sais pas =/
Dans mon cours il est défini en français ce qu'est une relation
:"une relation sur X est l'ensemble de couples ordonnés (a,b), tq a appartient à X et b appartient à X".
Ensuite sont introduites les 3 notions de symétrie, réflexivité et transitivité, puis ensuite il est dit qu'une relation est dite d'équivalence si elle vérifie ce 3 propriétés.
En fait je ne comprends pas la notion de relation d'équivalence en elle même
Dans cet exercice précis : que signifie
xRy signifie que x+y sont pairs ...
Sont ? x+y est un seul nombre. xRy est vraie si et seulement si x+y est pair..Envoyé par ch0capic
Tu dois prouver que xRy est vraie entraine yRx est vrai. Ca ne te saute pas aux yeux ?
Je ne sais pas si j'ai vraiment saisi la chose, mais je pense en être tout près ...
J'ai tenté de refaire l'exercice seule, voilà ce que j'ai rédigé
xRy-> x+y est pair, soit x+y=2k
1)xRx-> x+x=2x, 2x est pair
2)si xRy, alors yRx
xRy->x+y est pair
yRx->y+x, qui est pair également
3)si xRy et yRz, alors xRz
x+y=2k -> x=2k-y
y+z=2k' ->z=2k'-y
Soit xRz=x+z=2k-y+2k'-y=2(k+k'-y), ce qui est pair également
Est-ce correct ?
Il me semble que tu as compris .... sauf un truc :
ta dernière ligne est, j'ai envie de dire, mal typée.
"xRz", ce n'est pas un nombre, ce n'est donc pas "égal" à x+z...
"xRz", c'est un booléen, c'est "vrai", ou c'est "faux", et c'est vrai quand "x+z est pair" est vrai et faux quand "x+z est pair" est faux.
J'aurais du faire comme les lignes précédentes et écrire à la place
" xRz -> x+z=2k-y+2k'-y=2(k+k'-y), ce qui est pair également" ?
En fait, je ne saisissais pas justement le fait que R est une proposition.
R est dans mon cas, "le fait que la somme est paire", c'est bien ça ? Car j'ai vu des exemples où par exemple, R est le fait d'être "congru à modulo ..."
Disons que la valeur de xRy est la valeur de vérité de la proposition "x+y est paire".
Mais si tu veux te référer à des modulos, on peut ici le faire, après tout, puisque x+y pair signifie x+y congru à 0 modulo 2.
Oui voilà, c'était cette notion que je ne comprenais pas, et je ne savais pas quoi exprimer, alors qu'en réalité, c'est tout simple !
En tout cas, merci beaucoup de l'aide
