Intégrale / seconde espèce

[invitec619acd1]

Bonjour à tous, j'ai un petit souci avec une forme d'intégrale que j'essaye de résoudre depuis des jours et des jours, et je n'arrive toujours pas à tomber sur le bon résultat. J'aurais alors besoin d'aide dans ma démarche pour savoir à quel moment je foire mes résultats.

Voici l'intégrale:

http://img238.imageshack.us/my.php?i...apturerer7.jpg

Et voici la réponse que je dois retrouver :

http://img407.imageshack.us/my.php?image=rponsewo9.jpg (1)

Ma méthode de résolution est la suivante :

Je récupère le dénominateur de mon intégrale et je le transforme en canonique : ce qui me donne ici : ( sqrt 5 x - 3/2sqrt(5) )² + 31/20
(NOTA: sqrt =racine, désolé pour l'écriture)

Puis, je met en facteur le 31/20 pour faire un changement de variable, en posant t= sqrt 5 x - 3/2sqrt(5) / sqrt( 31/20)
et puis je dérive et remplace dans mon équation (1).

Une fois remplacée, je dois alors arrangé la forme pour tomber sur quelque chose qui me permettrais de faire une décomposition en élément simple.
Or, je me perd constamment et ne retrouve jamais le même résultat et pire, les mêmes calculs.

N'y aurait-il pas une méthode plus simple pour tomber juste?

J'ai observée sur un livre de math qu'il y avait un jeu de soustraction/ addition sur le numérateur pour tomber sur une forme u'/u mais il ne donne l'exemple que pour des éléments qui se simplifie entre eux...

Si quelqu'un pouvait m'apporter de l'aide ca serait super
-----

[invite57a1e779]

Si alors , donc

[invitec619acd1]

Grâce à toi je viens de comprendre que je me trompais dans la simplification de la première ligne dès le début , je restais avec tous les termes dans l'équation et je n'arrivais donc plus à la résoudre. Tu as fais en trois ligne ce que je n'arrivais pas à faire en deux pages.
Merci infiniment, c'est très gentil de ta part ^^

[invitec619acd1]

Désolé pour le double post mais j'ai un autre souci avec une autre intégrale

intégrale: sqrt( x²+2) / x

Et voici la solution : sqrt(x²+2x) + ln(x+1+sqrt(x²+2x) + C

Dans ma démarche, il me semble qu'il faut utiliser comme pour un radicande du second degré, c'est à dire transformer sous forme canonique x²+2, ce qui donne (x-0)²+2 , et puis poser comme quoi x/2 = tant t .

Le souci est qu'après je ne reste qu'avec des tan t ou des 1/cos²t sans jamais retomber sur une forme logarithmique ou même l'expression de la réponse avec le polynôme ( x²+2x)

Ma méthode est-elle la bonne ou faut-il employer autre chose?
J'ai tenté un changement de variable, mais ça ne fonctionne pas, on a des carrées de chaque côté.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Tu poses , avec donc , et tu as :


et dans cette dernière intégrale, tu poses

[invitec619acd1]

Si je poursuis ton raisonnement j'obtiens :



Faut-il décomposer l'intégrale en éléments simple ou elle peut se calculer tel quel?

[invite57a1e779]

La décomposition en éléments simples est immédiate :

[invitec619acd1]

Effectivement je n'ai pas fais attention désolé :s

Par contre, à la fin on se retrouve avec une devant les intégrales, sans pouvoir les simplifier avec nos du début car on a fait on changement de variable. Je n'arrive donc pas à voir comment la ôter du résultat. (encore désolé ).

[invitec619acd1]

J'ai oublié de mettre mon résultat temporaire:

[invite57a1e779]

Tout d'abord : .
Pour l'autre terme, il faudrait user de l'expression de l'argument tangente hyperbolique par un logarithme.

[invitec619acd1]

oui, ça donnera : , puis on remplace etc...
Ce qui me gène c'est que je viens de remarquer que le premier terme trouvé ne correspond pas à la réponse donnée plus haut. Mon prof s'est il manqué ? (je pense que c'est le cas, il a du se tromper une seconde fois pour le terme logarithmique )

[invite57a1e779]

Le plus rapide est de vérifier : on part de , on dérive et on voit que l'on ne trouve pas ...

Le problème est maintenant de trouver l'erreur : fallait il calculer les primitives de , ou doit-on trouver pour les primitives de ?

[invitec619acd1]

La réponse donnée plus haut sert juste de vérification, il faut seulement calculer les primitives de la fonction de départ.
Mais c'est très probable qu'il est fait des fautes de frappes, ça lui arrive très souvent.(il a du faire un copier coller pour la suite, d'ou la continuité de la faute. Parce qu'on voit vient que c'est impossible de tomber sur le résultat donné, il faudrait changer l'intégrale de départ.