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montrons que l'union de 2 ss esp vect ne contient pas tt les elements de l'espace vectoriel...



  1. #1
    vince3001

    montrons que l'union de 2 ss esp vect ne contient pas tt les elements de l'espace vectoriel...


    ------

    Bonjour,
    Voilà le pb que je dois resoudre:
    "Soit G et H 2 ss esp vect de F
    On suppose G et H différents de F
    Montrez qu'il existe un vecteur de F n'appartenant ni à G ni à H"

    Voilà ma démonstration partielle,qui si elle est correcte n'attend que vous pour etre completée!

    On distingue 2 cas :
    1er cas : H et G sont supplémentaires

    Si H et G sont supplémentaires,alors dimF=dimG+dimH et dim(G inter H)=0 (déjà démontré).
    => si (g1,g2,...,gp) base de G
    (h1,h2,...hq)base de H
    alors (g1,g2,...,gp,h1,h2,...hq) base de F
    dc tout élément v de F est combinaison linéaire de (g1,g2,...,gp,h1,h2,...hq)
    =>il existe v n'appartenant ni à G,ni à H

    2eme cas : H et G ne sont pas supplémentaires

    Si H et G ne sont pas supplémentaires,alors dim F> ou = dimG +dimH-dim(G inter H)
    Car d'une part dim(G+H)=dimG+ dimH-dim(G inter H)
    et d'autre part G et H ss esp vect de F
    On distingue donc encore 2 cas :
    a/dim F= dimG +dimH-dim(G inter H)

    Si dim F= dimG +dimH-dim(G inter H), alors dim(G inter H) différent de 0 car G et H non supplémentaires
    => dim F > dimG+dimH
    => il existe v n'appartenant ni à G,ni à H

    b/dim F> dimG +dimH-dim(G inter H)
    C'est là que j'ai besoin d'aide...

    Merci de votre collaboration!

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    martini_bird

    Re : montrons que l'union de 2 ss esp vect ne contient pas tt les elements de l'espace vectoriel...

    Salut,

    je n'ai pas lu toute ta prose, mais il me semble qu'il suffit de prendre la somme g+h de deux vecteurs de G et de H...

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #3
    Thorin

    Re : montrons que l'union de 2 ss esp vect ne contient pas tt les elements de l'espace vectoriel...

    Tout d'abord, il me semble que tu ne peux pas dire que si
    a=b-c, alors a>b...c'est même le contraire avec des nombres positifs.
    (cf la partie a) de ton cas 2))


    Ensuite, il me semblerait plus fructueux d'envisager la somme d'un vecteur de G n'appartenant pas à H et d'un vecteur de H n'appartenant pas à G (et les sous-cas inhérents à cette idée).


    Thorin.

    Edit : grillé XD
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  5. #4
    sebsheep

    Re : montrons que l'union de 2 ss esp vect ne contient pas tt les elements de l'espace vectoriel...

    peut on dire que si avec u et v libre, alors ?

    Ca me semble "logique", mais je n'arrive pas à le montrer ...

    ps : je viens de me rendre compte que implique u et v libres (pour peu qu'on prenne u et v différents de 0)

  6. #5
    Thorin

    Re : montrons que l'union de 2 ss esp vect ne contient pas tt les elements de l'espace vectoriel...

    supposons que u+v appartienne à E.
    Alors, par stabilité, u+v-v appartient à E
    donc u appartient à E
    Contradictoire.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    vince3001

    Re : montrons que l'union de 2 ss esp vect ne contient pas tt les elements de l'espace vectoriel...

    Bon je crois avoir trouvé meilleure démonstration :
    4 cas possibles:

    1er cas: G non inclu ds H, H non inclu ds G
    Dans ce cas on prend comme vous l'avez proposé un vecteur v=g+h où v appartient à F,g à G,h à H,mais g n'appartient pas à H et h n'appartient pas à G
    Il est évident que v n'appartient ni à G,ni à H (enfin je crois...)

    2eme cas : G=H
    Dans ce cas, DimG<DimF (car G inclu ds F et G différent de F) et donc il existe v appartenant à F n'appartenant pas à G et donc pas à H

    3eme cas : H inclu ds G et H différent de G
    =>dimH<dimG<dimF=>il existe v n'appartenant pas à G, n'appartenant pas à H et appartenant à F

    4eme cas : G inclu ds H et Gdifférent de H
    =>dimG<dimH<dimF=>il existe v n'appartenant pas à G, n'appartenant pas à H et appartenant à F

    Cela vous semble-t-il correct?
    Dernière modification par vince3001 ; 01/11/2008 à 11h33.

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  10. #7
    sebsheep

    Re : montrons que l'union de 2 ss esp vect ne contient pas tt les elements de l'espace vectoriel...

    Tu n'as que 2 cas possibles :
    soit G=H, dans ce cas, c'est trivial, tu y as répondu,
    soit et dans ce cas, , et aussi : . Et là ma question précédente devrait te permettre de conclure.

    Ton raisonnement semble bon, mais on peut faire plus court, pouquoi s'en priver? (ca évite les erreurs et c'est plus simple à comprendre)

    (au passage, merci à Thorin)

  11. #8
    vince3001

    Re : montrons que l'union de 2 ss esp vect ne contient pas tt les elements de l'espace vectoriel...

    Ben je suis pas trop d'accord pour dire qu'il existe u et v tq tu les décris car si G est ds H alors v n'existe pas...pareil pour u si H est dans G. c'est pour ça que j'ai distingué 2 cas supplémentaires.
    Et à vrai dire si ce que j'ai fait (grace à vous et je vous en remercie) est juste,faire plus court rendra plus facile la tâche au prof ms pas à moi qui vait devoir encore passer du tps sur cette question alors que j'en ai encore 1 tonnes à traiter...

  12. #9
    sebsheep

    Re : montrons que l'union de 2 ss esp vect ne contient pas tt les elements de l'espace vectoriel...

    autant pour moi ...

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