Travailler avec une valeur d'adhérence

[invite1e5c24bd]

Bonjour à toutes et tous,

Je me pose quelques questions à propos du problèmes suivant :

On considère la suite
Bp = 1/p*Sum(A^k,k = 0 .. p-1)

A étant une matrice telle que la suite (A^k)(k dans N) est bornée (Mn(C) étant muni d'une norme).

On me demande de prouver que Bp admet au moins une valeur d'adhérence, ce qui, il me semble, ne pose pas trop de problèmes. Toutefois, en appelant B cette valeur d'adhérence, on me demande de montrer que,

B*A = B, B^2=B, Im(A-In)=Ker(B),Ker(A-In)=Im(B) ...

Je ne vous demande pas de me donner la réponse à ses différentes questions mais plutôt de m'indiquer comment je peux travailler avec cette valeur d'adhérence qui est finalement une limite d'une sous suite de Bp ...
Dois-je passer par ce fait-là ou par un autre chemin ?

Merci d'avance pour vos conseils,
H.Poincaré
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[invite1e5c24bd]

Pas d'idée ?

[invite57a1e779]

Une valeur d'adhérence, comme tu l'as très bien dit, c'est UNE limite de sous-suite.
C'est la seule chose que l'on sache, donc il faut faire avec.
L'adjectif indéfini dans la définition de la valeur d'adhérence empêche toute caractérisation d'une la valeur d'adhérence particulière.

[invite1e5c24bd]

Merci pour ta réponse.

Je pense avoir résolu la première partie de ma question, à savoir montrer que B*A = B et B^2=B

Toutefois j'ai un peu plus de difficulté pour montrer
Im(A-In)=Ker(B) et Ker(A-In)=Im(B)...

J'arrive à montrer à chaque fois l'inclusion dans le Ker mais pas la réciproque ...

Autre question, à propos des valeurs d'adhérences. Quel critère permet de prouver qu'une suite n'admet qu'une seule valeur d'adhérence, un raisonnement par l'absurde ?

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Toutefois j'ai un peu plus de difficulté pour montrer
Im(A-In)=Ker(B) et Ker(A-In)=Im(B)...

J'arrive à montrer à chaque fois l'inclusion dans le Ker mais pas la réciproque ...

Si appartient à , alors , donc, pour tout entier , puis, pour tout entier , . En passant à la limite sur la sous-suite de limite , on obtient , donc appartient à .

On a bien l'inclusion .

Quel critère permet de prouver qu'une suite n'admet qu'une seule valeur d'adhérence, un raisonnement par l'absurde ?

On considère deux valeurs d'adhérence de la suite, et on prouve qu'elles sont égales.

[invite1e5c24bd]

Merci pour ta réponse.

J'ai quelques soucis de rédactions, notamment pour affirmer que BA=B, je pensais expliquer que les suites BpA et Bp ont même limites lorsque p tend vers l'infini.

Suffit-il, et est-ce rigoureux, de dire que ||BpA-Bp|| est nulle pour p tendant vers l'infini ?

[invite57a1e779]

Par définition, on a si, et seulement si .

Si tu as prouvé que , tu as bien prouvé que .
Donc tu as, pour toute suite extraite, , en particulier pour la sous-suite de limite , ce qui te permet de conclure à .