2 ss espaces vectoriels admettent un supplémentaire commun ssi...

[inviteb7283ac9]

Bonjour,
Voilà le pb...:
"Soit F un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K et G et H deux ss espaces vectoriels
Montrer que G et H admettent un suppléme,taires commun ssi G et H ont même dimension.Indication pour le sens non trivial : on définit n=dimF-dimG=dimF-dimH.Faire une récurrence sur n>ou égal à 0"

Bon alors pour le sens trivial c bon :

Si G et H admettent un supplémentaire commun I
Alors dimG+dimI=dimF
dimH+dimI=dimF
=>dimG=dimH


Mais pour l'autre sens c pas la même histoire et j'suis bien avancé avec cette récurrence...
Au secours
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[inviteb7283ac9]

Quelque chose vous semble pas clair?
Je trouve bizarre de pas avoir de réponse...c'est faux d'après vous?

Merci de votre collaboration

[Médiat]

Il y a sans doute quelque chose que je ne comprends pas parce que si tu prends
F = IR², G = <(1, 0)>, H = <(0, 1)> qui sont de dimension un et dont les complémentaires sont G^c = H et H^c = G, qui ne sont pas vraiment égaux.

[invitec317278e]

On parle de supplémentaires, et non de complémentaires, Médiat.

Si l'on reprend le cas de ton exemple, il suffit de prendre Vect((1,1)) pour avoir un supplémentaire commun.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Il y a sans doute quelque chose que je ne comprends pas parce que si tu prends
F = IR², G = <(1, 0)>, H = <(0, 1)> qui sont de dimension un et dont les complémentaires sont G^c = H et H^c = G, qui ne sont pas vraiment égaux.

En tout cas, avec K = <(1, 1)>, on a un supplémentaire commun à G et H.

[invitec317278e]

Bon, sinon, pour la récurrence, j'ai peut être une idée, mais j'ai un doute.

On prend un vecteur a n'appartenant ni à G, ni à H.
On nomme G'=Vect({G,a}) et H'=Vect({H,a)})
Alors, on a DimF-DimG'=n-1
On applique donc l'hypothèse de récurrence à G' et H'.

On nomme X' leur supplémentaire commun.
Et on a alors X=Vect({X',a}) supplémentaire de G et H.

J'ai un doute car ce n'est que basé sur mon intuition, je n'ai pas cherché à prouver les choses.

[Médiat]

On parle de supplémentaires, et non de complémentaires, Médiat.

Ooops, lu trop vite

[invite57a1e779]

Bon, sinon, pour la récurrence, j'ai peut être une idée, mais j'ai un doute.

Efface ton doute, c'est une bonne idée.

[inviteb7283ac9]

Bon d'accord,je v réfléchir à tt ça,merci pour vos pistes.

[inviteb7283ac9]

Dans la méthode qui est proposée, vous dites "d'appliquer l'hypothèse de récurrence",ms quelle est -elle?Si c'est celle de l'énoncé,je vois pas en quoi c'est une hypothèse de récurrence vu qu'il est évident que c'est vrai (car si G et H ont même dimension,alors n=dimF-dimG=dimF-dimH).En effet le principe de la récurrence est de prouver un truc dont on connait le résultat.Mais là rien à prouver,c déjà vrai...

[invitec317278e]

Sauf que j'applique l'hypothèse de récurrence "pour" H', et que dimH'=DimH +1.
Ainsi, DimF-DimH'=DimF-DimH -1=n-1
Ainsi, il suffit bien de la supposer vraie au rang n-1.

C'est justement ici la super idée ton énoncé, appliquer la récurrence à un entier qui diminue lorsque l'on augmente la dimension de nos espaces de travail...parce que si on faisait une récurrence sur DimF ou sur DimH, je sens que la tâche aurait été beaucoup moins facile.