Nombres Complexes : simplification de quotient et calcule d'imaginaire pure / réel

[invite0f710a86]

bonjour, j'aurais besoin d'aide pour les exercices suivants , en particulier pour les deux derniers dont je ne suis pas sur de la méthode employée :

Exercices 1 :

Calculer :

a)

en posant

je trouve z=(cos2x)+i(sin2x)
------------------------------------------
b)

en posant

je trouve z=(sin2x)+i(cos2x)
----------------------------------------

c) -

je trouve z=i*tan

---------------------------------------
d) -

je trouve z=-i*tan


Exercices 2 :

Calculer pour tout x


Je pose
donc

= =
=
=

et donc =

de même calculer

je trouve

Exercice 3 :

Comment choisir z pour que Z=z²+2z-3 soit réel ET pour que z=(1-z)/(i+z) soit réel puis imaginaire pur.

Là je n'ai pas très bien compris alors j'ai cherché :

Z=z²+2z-3 Réel <=>Z=Z
z²+2z-3=z²+2z-3
(a+i*b)²+2a+2i*b-3=(a-i*b)²+2a-2i*b-3
a²-b²+2i*(ab)+2i*b=a²+b²-2i*(ab)-2i*b
-2b²+4i*(ab)+4i*b=0

z=(1-z)/(i+z)<=>Z=Z
(1-z)/(i+z)=(1-z)/(i+z)
(1-z)/(i+z)=(1-z)/(-i+z)
(1-z)*(-i+z)=(1-z)*(i+z)
(1-(a+i*b))*(-i+(a-i*b))=(1-(a-i*b))*(i+(a+i*b))
-i+a-i*b+i*a-a²-b-b²=i+a+i*b-i*a-a²-b-b²
-2i-2i*b-2i*a=0

Et après je suis bloqué .
Alors voilà si quelqu'un peut m'aider je le remercie .
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[invitec1bc5c86]

Salut, je te réponds vite fait en passant, j'ai lu en diagonale les 2 premiers exos et le dernier j'ai pas vérifié les calculs, mais je me demande juste pourquoi tu simplifie pas -2i-2i*b-2i*a=0 en divisant par 2i ?
On a alors -1-b-a=0
ie a=-b-1
en remplacant dans ton autre equation, tu devrais pouvoir trouver la solution non ?

[invite0f710a86]

EDIT :
l'enoncer de l'exercice 3 n'est pas bon , c'est :

Comment choisir z pour que Z=z²+2z-3 soit réel ET pour que Z=(1-z)/(i+z) soit réel puis imaginaire pur.