Les complexes: nombre reel et imaginaire pur

[invitede11adb2]

Bonjours,
voila nous venons de commencer les complexes et je ne comprends pas tout... Pour la rentrée nous avons cet exercice que je ne comprends pas totalement...

Soit
_
z = z* pour simplifier la notation

Déterminer les nombres complexes z tels que z / (1 + 2i) soit:

> un nombre reel:

Nombre reel: z* = z

Donc
[z / (a+2i) ]* = [z / (a+2i) ]
[z* / (a-2i) ] = [z / (a+2i) ]
z* = z[(1-2i) / (1+2i)]
z* = z[(-3 - 4i)/(5)]

Donc: (soit z = a + bi ; z* = a - bi)

a - bi = (a + bi) [(-3 - 4i)/(5)]

au final: 4a - ib = 2b -2ai

Et la je ne sais pas comment conclure


> Un imaginaire pur

Imaginaire pur: z = -z*

Avec les memes calculs que pour la premiere question je trouve comme équation finale:

-a + 4 iy = 2y - 2ix

Je ne sais toujours pas comment conclure

Merci de votre aide a tous !
-----

[inviteed6e6434]

bonsoir,
Attention j'ai l'impression que tu confonds pas mal de chose dans ton exo. On te demande la forme de z pour que le quotient z/(1+2i) soit réel ou imaginaire pur donc faut que prenne le conjugué du quotient à chaque fois et tout va s'arranger.

[invite890931c6]

Bonsoir,

commence déjà par simplifier le quotient (1)

ensuite tu sais que est équivalent à .

finalement tu as (1) (à simplifier)

et donc à quelles conditions sur et cette fraction est un réel, un imaginaire pure ?

Cordialement.

[invitede11adb2]

Merci de votre aide...

Donc après simplification je trouve:

z / (a+2I) = [(a+2b) + (-2a + b)i ]/ 5

J'en conclus:

z reel si
(-2a + b) = 0
2a=b

z reel si 2Re(z) = Im(z)

z imaginaire pur si
(a+2b) = 0
a = -2b

z imaginaire pur si Re(z) = -2[Im(z)]

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitede11adb2]

Oui mais dans la réalité en faisant les calculs a l'aide de ces résultats cela ne marche pas... A l'aide !

Merci de votre aide

[invite7d436771]

Bonsoir,

Pourquou as -tu z / (a+2I) = [(a+2b) + (-2a + b)i ]/ 5 ? C'est quoi le a qui se promène dans le membre de gauche et qui de temps en temps vaut 1 ? Tu es sûr que tu ne le confonds pas avec ton a de la forme algébrique parfois ?

Reste plus qu'à annuler partie réelle ou imaginaire ensuite ...

Cordialement,

Nox

[invite890931c6]

tu y étais presque, tu t'es un peu embrouillé comme la dit Duke, mais tes conditions sur et étaient presque bonnes, on a bien :

réel si
imaginaire si

Cordialement.

[invitede11adb2]

Oui Nox, il y a une erreur: z / (1+2i)

Je ne comprends pas comment tu arrives a ces conclusions vegeTal ?

[invite890931c6]

oups, c'est exactement l'inverse de ce que j'ai marqué, j'ai pas fais attention. on a donc :

réel si (exemple avec )
imaginaire pur si (ex : avec )

[invitede11adb2]

Ok là je comprends...

Merci de votre aide !